岡竜之介のブログ

岡竜之介のブログです。

入試に「フェルマーの最終定理」"Fermat's last theorem" in a university entrance exams

数学・物理 Mathematics Physics

(I know that my English is not correct. If you correct my English, I get very happy.)

わりと有名な話なのでそこそこ既に語られた話ですが
This is a famous story and many people has already talked about this.


僕もこの話したいのでさせてください。
However, I want to talk about this, too. Let me do this.


僕はこの問題を、浪人時代に予備校の塾の先生から教えてもらいました。
I was taught this problem by my teacher in the cram school.

全文

「nを2より大きい自然数とするとき {x^n+y^n=z^n} を満たす整数解 {x,y,z(xyz \neq 0)} は存在しない」というのはフェルマーの最終定理として有名である．しかし多くの数学者の努力にもかかわらず一般に証明されていなかった．ところが1905年にこの定理の証明がワイルスの100ページを超える大論文と，テイラーとの共著により与えられた．
当然 {x^3+y^3=z^3} を満たす整数解 {x,y,z(xyz \neq 0)} は存在しない．

さてここではフェルマーの最終定理を知らないものとして次を証明せよ．

{x,y,z} を0でない整数とし，もしも等式 {x^3+y^3=z^3} が成立しているならば，{x,y,z} のうち少なくとも一つは3の倍数である．
1998年 信州大

"When n is a natural number bigger than 2, there is no integer solution of {x,y,z(xyz \neq 0)} ". This is famous as Fermat's Last Theorem. This had not been generally proved in spite of many mathematicians' efforts. However, in 1905, this was proved by Wiles paper which had more than 100 pages and Taylor and Wiles's book. Of course, there is no integer solution of {x^3+y^3=z^3}.

Here, assuming that you don't know Fermat's final theorem, prove this.

{x,y,z} are integers which are not zero. If {x^3+y^3=z^3} is true, at least one of {x,y,z} is multiples of 3.
1998 the university of shinshu

僕の反応

この問題を先生が紹介した時、僕はめちゃくちゃな問題だなと思いました。
When I heard this problem by my teacher, I thought this problem didn't make sense.


{x^3+y^3=z^3} を満たす整数解 {x,y,z(xyz \neq 0)} はないんですよ？
There is no integer solution of {x^3+y^3=z^3}, isn't it?


それをあると仮定してどうのこうのって、言ってる意味がわからない。
They say to assume that there is a solution. I can't understand.




そして先生はこう続けました。
And the teacher said...



「当時この問題を批判した人がいました」
"Some people criticized this problem."



なるほど。まあそうだろうなあ。
I see. I can understand them.




「でも、これはちゃんとした問題ですよ」
"However, this is a good problem."



なに？
What?


何故これがちゃんとした問題か Why is this a good problem?


その後先生の話を聞いて、僕も納得しました。
After that, I heard what the teacher said and I understood.



何かを仮定してそこから何か言うことは、何も論理的に間違ってないんですね。
Assuming something and saying something are logically good.



例えば、この問題は、フェルマーの最終定理の証明の一部になる可能性があるんですよ。
For example, this problem can be a part of the proof of Fermat's final theorem.



x,y,zの少なくとも一つが3の倍数になることが言えたら、
If it was proved that at least one of x, y and z was multiples of 3,


もしその後別の所から、x,y,zがどれも3の倍数でないケースが作れると、
and if the case was made that all of x, y and z are not multiple of 3,


矛盾が言えるので、仮定が間違ってることが証明できるんですね。
then it's contradiction and it is said that the assumption was incorrect.



その証明の一部になりうるのが、この問題なんですよ。
This problem can be a part of the proof.



フェルマーの最終定理の結論ありきで「存在しないものを仮定するな」なんて言うほうが、論理的に正しくないわけです。
It is not logically good to say "Don't assume what doesn't exist."



面白い。
interesting.


別解？ Another solution?

この話を友人にした時に、彼が面白いことを言っていました。
When I talked this story to one of my friends, he said something interesting.


「この問題文の『フェルマーの最終定理を知らないものとして』っていうのがすごく重要だね。」
"The phrase 'assuming that you don't know Fermat's final theorem' is very important."


「フェルマーの最終定理と、問題の仮定を合わせると、矛盾するから、そこからどんな命題も証明完了するよね。」
" We can make contradiction from Fermat's final theorem and the assumption of this problem. After that, we can prove everything."


なるほど！！
I see!!!


僕はそこに気付いてなかったので、それを聞いた時とても感心しました。
I didn't noticed that and I was impressed very much.


なるほどね。
I see.



フェルマーの最終定理を証明に使っちゃうと、この問題は一瞬で解けるんですね。
If we use the Fermat's final theorem, we can solve this problem in a blink of an eye.


ただ、フェルマーの最終定理の証明の一部にこの問題が含まれている場合、トートロジーになるので証明できないけど。
However, if this problem is used as a part of the proof of Fermat's final theorem, it's tautology and it can't be proven.



皆さん解けますか？ Can you solve this?


ちなみにこの問題、普通に問題としても面白いです。
This problem is interesting as a math problem.


ごくごく素直にやろうとすると、ひっかかります。
If you try to solve naturally, you may be caught.


僕はひっかかりました。「あれ？できない。」ってなりました。
I was caught. I said "why I can't solve this?"


でも解決できる範囲のひっかかりなので、難易度もちょうどよいと思います。
I think the difficulty is jus right.


よかったら挑戦してみてください。
Why don't you challenge this?

San Francisco Botanical Garden

サンフランシスコ San Francisco

植物園です。
It's an arboretum.



ゴールデンゲートパークには植物園があるんです。
There is an arboretum in the Golden Gate Park.


ゴールデンゲートパーク全般についてはこちら
About the Golden Gate Park, read this (Japanese Only)
agajo.hatenablog.com



今日は、サンフランシスコで友だちになった女性と植物園をまわってきました！
I walked around in the botanical garden with a friend in San Francisco!
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San Francisco Botanical Garden は、世界中の植物が各地域ごとにまとめられています。
There are many plants in San Francisco Botanical Garden and they are categorized by their regions.



例えばこれは日本の「アネモネ」ですね。みんな知ってますね。はい。僕はよく知りません。
For example, this is Japanese Anemone. I'm sure everyone knows. Yeah. I don't know it.
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アジカンの曲で「アネモネの咲く春に」なんて曲がありますね。はい。
There is a song "In The Spring When Anemone Bloom" by ASIAN KUNG-FU GENERATION. Yeah.




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"Chinese Turip"の木。葉っぱの形が特殊です。
"Chinese Turip" tree. The leaf has a special shape.




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天皇皇后両陛下の訪問記念碑がありました。マジかよ。
There was a monument of Japanese Emperor and Empress's visit.



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リスですね。可愛いです。
It's a squirrel. Cute.



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栗の一種でしょうか…？
Is it a kind of chestnut...?



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何かが思いっきり垂れ下がってます。
Something is hanging down.



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霧から水分を吸収するために湿りやすい構造をしている葉。日本の植物にはない性質ですね。
This leaf has a special structure in order to absorb water from the fog. Japanese plants don't have this feature.





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シダ植物の裏側の胞子嚢。キモいですね。
Back side of a fern leaf. It's gross.




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特定の2方向にしか枝が出ていない木。
This tree has branches in only two directions.



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スズメバチが花の根本を噛んで開けた穴。この穴を使ってミツバチが花の奥にある蜜を吸うらしい。実際にその様子も見た。面白いですね。
A hole pierced by a yellow jacket. Bees suck nectar through this hole. I saw the scene. Interesting.

この話はその場にたまたまいたおじさんに説明してもらいました。ミツバチがスズメバチを追い払う方法の話とか。面白かったです。
A man who was near told us this story. He also told us how bees expel a yellow jacket. Interesting.





日本式の"Moon Viewing Garden"。紅葉と池と岩がそれっぽいですね。この季節に紅葉がまだ緑色なのはサンフランシスコの気候のせいですね。
Japanese "Moon Viewing Garden". Japanese maple leaves, pond and rocks look like it. The leaves are still green because of the climate in San Francisco.




と、まあそんな感じでいろいろまわって、最後はスパゲッティ食べて帰りましたとさ。
In the end, we ate spaghetti and got back home.



ずっと英語喋ってたけど、僕の英語はマシになっているのかしら。
I was always speaking English. Is my English getting better?

世界の果て "Land's End" The Edge of The World

San Francisco サンフランシスコ

(I know that my English is not correct. If you correct them for me, I'll be very happy.)

"Land's End" という大げさな名前の場所に行ってきました。
I went to "Land's End", whose name is exaggerated.


ヨーロッパ中心の世界地図だと、アメリカは西側にありますね。
In the world map whose center is Europe, the American continent is in the west.



サンフランシスコというのはアメリカ大陸の西海岸にあるのですが、
San Francisco is in the west side of the American continent,



そのサンフランシスコの西の果てが、Land's End です。
and Land's End is in the west end of San Francisco.



崖になっていて、ズバッとそこで大陸が終わっているのも End 感を増していますね。
It looks "end" because it's a steep cliff.
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西側です。水平線があります。
This is the west. You can see the horizon.
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この向こうにずーっとまっすぐ…ではなく、緯線にそってちょっとずつ曲がりながら進むと、日本にたどり着きます。
If you went straight in this direction ...... no, went along the latitude line and you could get to Japan.




北側に出るとゴールデンゲートブリッジが見えます。
You can see the Golden Gate Bridge from the north edge.
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何故迷路がここにあるのかは知らない。誰かが勝手に作って、観光地になってるのか。
I don't know why the labyrinth is here. Some one made it and it became a tourist site?
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よく見ると漫画の表現みたいなことになってる写真。
You can find there is an expression like manga if you look at this picture closely.
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さてさて。
By the way


ここに来てからわかったのが、ここハイキングコースがあるんですよ。
I found a hiking trail after coming there. I had not known that.



海沿いの崖の上を行く、なかなか楽しいハイキングコースが。
The trail is very interesting because it is on the coastal cliff.



なんでも、昔ここに鉄道が走ってたらしくて
There was a railroad of old.


その跡地が、今ハイキングコースになってるらしい。
The trail is where the railroad have been.



ちなみにその鉄道は土砂崩れで破損して、そのまま撤去されたそうです。
The railroad had got broken because of a landslip, and then, was removed.




線路の跡とか残ってるといいなあと思ったけど、そういうのはなかったですね。
I hoped there was a ruin of the rail. However, there wasn't.


www.youtube.com




あと、この海域は海流や霧、海峡の狭さのせいで座礁船が多かったらしくて
In addition, there had been a lot of ships aground on the rocks because of the strong current, deep fog and narrow strait.



特にでかい奴の部品が、今でも引き潮の時に見れるらしいです。
They say that you can see the ruins of the ships in the low tide.


引き潮のタイミング調べてもっかい行くか…。
Should I go again after checking the time of the low tide...?




そして最後にたどり着いたのが Sutro Bathsという場所。
I arrived at Sutro Baths in the end of the trail.





ところで、僕、Land's End ってパッと端っこまで行って見て終わりだと思ってたから
Actuary, I thought that Land's End was not so big and I could see everything in a short time.




夕焼けを狙って遅めの時間に来たんですよね。
I went late to see the sunset.



なので Sutro Baths に着いた時は結構暗かったです。
Then, when I arrived at Sutro Baths, it was dark.



洞窟です。暗くて怖すぎて入れませんでした。
It's a cave. It was too dark and scary to go into.






後日行って撮ってきた写真がこちら。
I took these pictures another day.



昔プールだったらしいですが、火事でなくなったらしいです。
It was a swimming pool of old. It have burned down.


www.youtube.com




こちらは夜は怖すぎて中に入れなかった洞窟。
This is the cave I had never been able to go into.
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狭い洞窟に波が入り込む迫力のある場所があって面白かったです。
This place was exciting because the wave come in.
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以上！！！
That's all!!!


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「ゲイの街」カストロ地区に行ってきました！I visited Castro District!

San Francisco サンフランシスコ

ツイン・ピークスからUberで向かった先はカストロストリート駅でした。
I went from Twin Peaks by Uber to ... Castro Street Station.


ツイン・ピークスについてはこちら。
About Twin Peaks, read this.
agajo.hatenablog.com



でかいレインボーフラッグが目立ちます。
There was a big outstanding rainbow flag.


街中、レインボーだらけ。
Rainbows are everywhere.



横断歩道もレインボーです。色とか法律で決まってないんですかね。
Crosswalks are also rainbow. Hasn't the color of a crosswalk been decided by law?

「これが横断歩道である」ということを、模様ではなく、その位置から判断することになります笑
We have to understand "This is a crosswalk" not by the design pattern but by the position lol


エスカレーターも足元をレインボーの明かりで照らします。
There were rainbow lights in the escalator.

写真ではわかりませんが、このエスカレーターは止まってます。
Actuary, this escalator was not moving.





このカストロ地区、日本語では「ゲイの街」としてよく紹介されていますが、LGBTの街っぽいですね。
Castro District is introduced as a district of gays, but I think this is a district of LGBTs.



性的嗜好と街が結びついてるっていうのがよくわかんないけども…。「自分はゲイだからここに住もう」ってなるのか…？
I can't understand well that their sexual preferences have something to do with where they live... Do they think like "Because I am a gay, I'll live here" ?


地面には功労者の肖像。
There were meritorious people's pictures.



エログッズ屋が複数ありました。
There were some erotic shops.





後ろのカストロ劇場がはっきり映り込みすぎて、わけわかんない写真になってますね。
Because of the reflection of Castro Theater, this picture can't be understood properly.


ちなみにこのカストロ劇場は世界的に有名な映画館みたいです。僕は知らなかったけど。
This Castro Theater is very famous in the world. I didn't know that, though.



さて、その辺を適当に散策していると、気になるお店を見つけました。
By the way, I found a restaurant while I was walking around.


Osaka Sushi



なんで大阪？と思いつつ、入ってみることに。
I thought "Why Osaka (Japanese city)?" I entered.


うまそ〜〜〜〜〜
looks gooooood



海苔の外にご飯があるという、僕の知ってるアメリカがそのままでてきて嬉しかったです。
I was happy because the style that rice is outside of nori is what I knew as American style.


味はちゃんとしててとても美味しかったですね。Spicy salmon が結構辛かったけど。海老天がとても良かった。
The taste was very good. Spicy salmon was really spicy. Shrimp tempura was very good.



以上！！！！
That's all!!!!!!!!

サンフランシスコが一望できる"Twin Peaks"!! You can see all the San Francisco there!!

San Francisco サンフランシスコ


行ってきましたよ Twin Peaks!!
I went to Twin Peaks!!



高いところから景色を眺めるのが大好きな僕にとっては最高の観光地ですね。
It's very good because I like to look at scenery from a high place.



夜景が有名なスポットらしいですが、僕は真っ昼間に行ってきました。
I heard that it's famous for the night view, but I went there in the day time.


いや、だってよ！そんな場所、どうせまったく街灯もなんにもないぜ！
Understand me! There mustn't be lights at such a place!


車のない俺がどうやって行って帰るんだよ夜に！！
How do I go and go back in the night without a car!!




ということで。
Therefore...


バス Bus

バスで行ってきました。
I used a bus.


しかし…
However...



("The bus never comes!!")



("If I walked, I would have arrived at the destination!! Why the number 52 doesn't come?? The number 44 has come 3 times!! I got angry!! I'll walk!! With catching Pokemons!!")




ということで。
And..


フォレストヒル駅から歩きました。2kmくらい。
I walked from Forest Hill Station. It's about 2km.


大した事ない距離に聞こえますが、全区間そこそこの上りなのでそこそこ疲れます。
It doesn't sound tough, but you have to climb slopes and it's tiring.




("Is this a road...?")





("Cooooool Greaaaaaat")




なんだかんだ到着しました。
I managed to arrive.

上り坂っつっても2kmなんで、歩いてれば着きます。
It's true that it's a steep slope, but it's only 2km and you can arrive by walking.


TwinPeaksはその名の通り、ピークが２つあります。
There are 2 peaks as its name suggests.


先に到着したのは南峰。
I arrived at the South Peak first.



南峰から北峰を撮ると、こんな感じ
I took a picture of the North Peak from the South Peak.



南峰はポケストップで、北峰はジムです。
The South Peak is a poke stop and the North Peak is a gym.




("It's 275 meters above sea level. It would not be very high if it was a mountain. (I mean, it's a hill.)")



("I can't read the explanation at all")



北峰からさらに北へちょっと行った所に展望台があります。
There is an observation platform in the north of the North Peak.


そこから写真を撮ると…
I took a picture there...


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おお〜〜〜〜
woooooooooooooow



まさに「一望」ですね！
It's "full view"!


ゴールデンゲートブリッジ、ゴールデンゲートパーク、パレスオブファインアーツ、マーケットストリート、ファイナンシャルディストリクト、全部一枚の写真に入ります！！(ウルトラワイドコンバーターを使っているとしても！！)
Golden Gate Bridge, Golden Gate Park, Palace of Fine Arts, Market Street and Financial District are in one picture! (Even if I used Ultra Wide Converter)


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ウルトラワイドコンバーター、自撮りに向いてるな…
Ultra Wide Converter works well when I take a selfie...


他にも何枚か写真。
Other pictures.


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ということで、Twin Peaks からのお昼の眺めでした！
That was the view from Twin Peaks in day time!


風は強かったけど、そこはやはりサンフランシスコ、あんまり寒さは感じなかったです。
The wind was strong, but because it was San Francisco, I didn't feel very cold.


下山 going down

さて下山です。
Then, I had to go down.


また歩いて帰るのはちょっと面倒くさい。
I didn't want to walk back.


今度こそバスに乗りたいところなので、GoogleMapsで調べよう。
I wanted to take a bus this time and I used Google Maps.


はいはい、この道をこう行って…
OK, this way and that way...


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この崖を降りろ、と。
climbing down this cliff.



なるほどね。
OK


行けるか！！！！
I can't!!



ということで。
Therefore...



サンフランシスコに来て以来、初の「Uber」を呼ぶことにしました。
I called Uber for the first time in San Francisco.



Uber も Lyft もサンフランシスコでは超メジャーです。僕はたまたまアカウントを持っていたのでUberを呼びました。
Uber and Lyft are very famous in San Francisco. Because I had an account for Uber, I called Uber.


すぐ来ました。
It had come soon.


すぐ下山しました。
I could go down in very short time.


で、まあ、思ったんだけど、あれだね。
And I think now that...


Uber か Lyft 使えば、夜でも安全に来れるね。
You can go to Twin Peaks in the night by using Uber or Lyft.



ということで、サンフランシスコに旅行に来た方は、Uber か Lyft を使って安全にTwin Peaksを観光しよう！！！
Let's visit Twin Peaks safely by using Uber or Lyft!!


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２つの物体がエネルギーを交代でやりとりする奴を「うなり」と「振動モード」の観点から説明する

数学・物理

まずはこちらの映像を御覧ください。

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２つの物体が振動してますね。

そして、それぞれ勝手に振動しているのではなく


片方の振動が大きくなるともう片方は小さくなり、一瞬止まります。そしてまた振動し始める。

２つの物体が、エネルギーをやり取りしてるわけです！なんだこれは！！


(GIFの容量の関係で、ループする瞬間の所が若干見苦しいんですけども…。)

両方同時に大きく振動することはないですね。エネルギー保存の法則から言ってそれは理解できる。


こういう現象は、この形の２つの物体でなくても起こせます。振り子を２つ使ったり、１つの物体の回転運動と往復運動の間でエネルギーをやり取りさせたりすることもできます。

あ、この映像はシミュレーションですが、もちろん実際にできます。


実は、昨日と一昨日書いた記事は、この記事が書きたいがための準備でした！

すべてはこのため、この時のため！

【うなり】
agajo.hatenablog.com


【振動モード】
agajo.hatenablog.com



この「交互に止まったりまた動き出したりする」という現象が、不思議でしょうがなくてですね。


でも「うなり」と「振動モード」を理解すると、これが理解できるようになるので、どうしても解説したいんですね。なので聞いてください。

運動方程式を立てよう！


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【振動モード】の記事ではバネは３つとも同じバネ定数にしましたが、今回は真ん中だけ別のバネ定数にします。

物体は２つとも質量mです。


左の物体の位置をx1、それにかかる力をf1とします。右の物体が２ね。


{\displaystyle f_1 = -(k_1+k_2)x_1 + k_2x_2 = m \ddot x_1 \\\ f_2 = k_2x_1 - (k_1+k_2)x_2 = m \ddot x_2 }

{\displaystyle \begin{pmatrix}-(k_1+k_2) & k_2 \\k_2 & -(k_1+k_2)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} \ddot x_1 \\ \ddot x_2 \end{pmatrix} }


xの上の点は時間微分です。２つ付いてるので二階微分。加速度のことですね。

固有値分解して解こう！

こういう連立微分方程式は「振動モード」に分解して、それぞれのモードについて普通に微分方程式を解くんでしたね。


計算過程は省略しますが、こいつは固有値分解すると、振動モードの記事の時と同じ{V=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}}という行列が出てきます。

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このケースでもこの２つの振動モードの重ね合わせになることを意味してます。

質量とかバネ定数をいじると必ずしもこのモードにはならないです。今回はたまたまです。左右対称な設定だからかな。




対角行列は{\Lambda=\begin{pmatrix}-k_1 & 0 \\ 0 & -k_1-2k_2\end{pmatrix}}となって、

{\displaystyle \Lambda V \mathbf{x} = m V \ddot{\mathbf{x}} }


が成り立つんで、


{\displaystyle \Lambda \mathbf{x} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} }

{\displaystyle = \begin{pmatrix}x_1 + x_2 \\ x_1 - x_2 \end{pmatrix}}

{\displaystyle = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \mathbf{y}}


ってな感じでyを導入すると

{\displaystyle \begin{pmatrix}-k_1 & 0 \\ 0 & -k_1-2k_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} \ddot{y_1} \\ \ddot{y_1} \end{pmatrix} }

つまり

{\displaystyle -k_1y_1 = m \ddot{y_1} }
{\displaystyle (-k_1-2k_2)y_2 = m \ddot{y_2} }

となります。


2階微分して、元の関数のマイナス定数倍になるので、三角関数です。

ちゃんと解くなら本当は定数を２ついれないといけないのですが、今日も振幅と位相は適当に決めちゃって、こんな感じにしてみよう。

{ y_1 = 2\cos\left(\sqrt{\frac{k_1}{m}}t\right)}
{ y_2 = 2\cos\left(\sqrt{\frac{k_1+2k_2}{m}}t\right)}


そしてここから、それぞれの物体の運動を求めると

{ x_1 = \cos\left(\sqrt{\frac{k_1}{m}}t\right)} + \cos\left(\sqrt{\frac{k_1+2k_2}{m}}t\right)
{ x_2 = \cos\left(\sqrt{\frac{k_1}{m}}t\right)} - \cos\left(\sqrt{\frac{k_1+2k_2}{m}}t\right)


できた！！

うなり

さてここで思い出してほしいのが、「うなり」の話です。


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このそれぞれの物体の動きを見ると、「振幅が大きくなったり小さくなったり」してますね。


これって、うなりの動きですよね！


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うなりは、「わずかに振動数の異なる波を重ね合わせると起こる」んでしたね。

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↓足し合わせると…
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ということはですよ！！


{ x_1 = \cos\left(\sqrt{\frac{k_1}{m}}t\right)} + \cos\left(\sqrt{\frac{k_1+2k_2}{m}}t\right)


この２つのcosの振動数を近づけてやれば良いわけです！

ということは、要するにtの係数がわずかに異なれば良いわけで、k1に対してk2が小さければいいですね。

ということで、適当に

k1=10
k2=1
m=1

とすると…

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おおおー！見事なうなり！！


もう一つの物体の運動も重ねてみましょう


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ものの見事に交代していますね！

まとめ

結局、この現象はどうして起こっているかというと

・全体の運動が２つのモードの重ね合わせで表され
・２つのモードの振動数が近いため、うなりが発生している

ということだったんです。


納得！！！

「振動モード」と「固有値分解」

数学・物理

あんまりガンガン表に出してないですが、僕の大学時代の専門は「構造力学」でして

今日はそこから、「モード」の話です。

「モード」と言っても流行とかモード学園の話ではありません。

今日使うモデル

まずはこちらの映像を御覧ください。

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２つの物体が不規則な動きをしてますね。

バネ定数と質量はこんな感じです。

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バネ定数は３つともkで、質量は２つともm。メチャクチャ分かりやすいですね。

あ、減衰は考えません。摩擦も空気抵抗もなし。


じゃあここからガンガン数式使っていきますね。


力とか位置とか加速度とかは全部右側を正とします。

まず２つの物体それぞれについて運動方程式を立てますよ。

左の物体の位置をx1、それにかかる力をf1とします。右の物体が２ね。

{\displaystyle f_1 = -2kx_1 + kx_2 = m \ddot x_1 \\\ f_2 = kx_1 - 2kx_2 = m \ddot x_2 }

xの上の点は時間微分です。２つ付いてるので二階微分。加速度のことですね。

ということで、連立微分方程式になりました。これどうやって解くんでしょうね。

線形代数の力を使って対角化します

まず、この連立方程式を行列で表してみましょう


{\displaystyle \begin{pmatrix}-2k & k \\k & -2k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} \ddot x_1 \\ \ddot x_2 \end{pmatrix} }

さらにこれを適当に置き換えて

{\displaystyle K \mathbf{x} = m \ddot{\mathbf{x}} }

う〜んシンプル。良い。


で、唐突ですが、

{V=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}}

{\Lambda=\begin{pmatrix}-k & 0 \\ 0 & -3k\end{pmatrix}}

という２つの行列を用意するとですね

{\displaystyle K = V^{-1} \Lambda V }

と表せます。気になる人は計算してください。


いやどっから出てきたんだよそれー！！ふざけんなよー！！もー！！やんなっちゃうなぁー笑


と全員思ったでしょうが


大学１年の線形代数を勉強すると、どっから出てきたかわかります。ちゃんと「対角化」とか「固有値分解」っていうやり方があるんです。


{\displaystyle K \mathbf{x} = m \ddot{\mathbf{x}} }

に代入すると

{\displaystyle V^{-1} \Lambda V \mathbf{x} = m \ddot{\mathbf{x}} }


左からVを掛けると、mは定数なので

{\displaystyle \Lambda V \mathbf{x} = m V \ddot{\mathbf{x}} }



ここで、{\displaystyle \Lambda \mathbf{x}}が左辺に、その二階微分が右辺に出てきました。


これをこうします。

{\displaystyle \Lambda \mathbf{x} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} }

{\displaystyle = \begin{pmatrix}x_1 + x_2 \\ x_1 - x_2 \end{pmatrix}}

{\displaystyle = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \mathbf{y}}

すると先の式はこう書けます。

{\displaystyle \Lambda \mathbf{y} = m \ddot{\mathbf{y}}}


成分でちゃんと表示してみましょうか。

{\displaystyle \begin{pmatrix}-k & 0 \\ 0 & -3k \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} \ddot{y_1} \\ \ddot{y_1} \end{pmatrix} }


最初の
{\displaystyle \begin{pmatrix}-2k & k \\k & -2k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} \ddot x_1 \\ \ddot x_2 \end{pmatrix} }

と比べると、左端の行列が対角化されてます。


行列形式をやめて、成分別の連立方程式になおしてみましょうか。

{\displaystyle -ky_1 = m \ddot{y_1} }
{\displaystyle -3ky_2 = m \ddot{y_2} }


あれ？　これ、連立してないですね。

これは普通にそれぞれ微分方程式として解けますよ。

2階微分して、元の関数のマイナス定数倍になるので、三角関数ですね。

ちゃんと解くなら本当は定数を２ついれないといけないのですが、今日は振幅と位相は適当に決めちゃって、こんな感じにしてみよう。

{ y_1 = 2\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)}
{ y_2 = 2\cos\left(\sqrt{\frac{3k}{m}}t\right)}


おお〜微分がなくなった！

そしたら今度は

{ y_1 = x_1 + x_2 = 2\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)}
{ y_2 = x_1 - x_2 =2\cos\left(\sqrt{\frac{3k}{m}}t\right)}


をxについての連立方程式として解けば、完成です。

x1もx2も、２つの波の重ね合わせになります。


{ x_1 = \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)} + \cos\left(\sqrt{\frac{3k}{m}}t\right)
{ x_2 = \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)} - \cos\left(\sqrt{\frac{3k}{m}}t\right)


できた！！

片方の動きをグラフにするとこんな感じになります。右が時間軸ね。

f:id:agajo:20161101134427p:plain

振動モード

線形代数的な手法で、それぞれの物体の動きを求めることが出来たけれども

途中に出てきた「y」ってなんなんでしょうね。


まずy1について考えてみよう。


{ y_1 = x_1 + x_2 = 2\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)}


実はこれ、全体的な移動を表してるんですね。x1が右に行ってもx2が右に行っても、y1は大きくなるわけです。

両辺を2で割ってみると、重心の変位を表してることがよくわかります。

(もとのxが、それぞれの初期位置からの変位なので、重心についても位置ではなく初期位置からの変位を表してることに注意)

つまりこういうこと。

f:id:agajo:20161101133144g:plain



それに対して、

{ y_2 = x_1 - x_2 =2\cos\left(\sqrt{\frac{3k}{m}}t\right)}

これは、２つの物体の対称的な運動を表してます。x1が左に移動し、x2が右に移動する時に、y2は大きくなるわけです。

f:id:agajo:20161101134036g:plain


つまり！この２つの物体は、全体として見ると

「全体としての運動(重心の運動)」
「対称的な運動」

の２つの運動の重ね合わせで運動してるわけです！


なるほどね〜。

ちなみに周波数は、対称運動が全体運動のルート3倍なので、全体としては周期性のない運動をしてることになりますね。へ〜。


このそれぞれの運動を「モード」とか「振動モード」とか言います。

行列で表した運動方程式を固有値分解・対角化すると、この「モード」が出てくるんですね。

この「モード」は結構理解しやすい運動を表していて、個々の物体はこの「モード」の重ね合わせで動きが決まるわけです。

以上！！