岡竜之介のブログ

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通分して足したら約分が発生する「分数の足し算」を量産する

はじめに

こちらのブログ記事に触発されまして、僕も考えてみることにしました。

今の僕の生活スタイルにおいては、小学生の方に分数の足し算を教える機会がままありますので、気になったのです。

分数の足し算で「約分」が発生する条件 - tsujimotterのノートブック

分数の足し算で「約分」が発生する条件(2) - tsujimotterのノートブック

目標設定

この記事の目標は

「足し算した結果、約分が発生するような分数の足し算問題を量産する」

ということにします。

例えばこういうものですね。

$\displaystyle{ \frac{1}{10} + \frac{7}{6} = \frac{3}{30} + \frac{35}{30} = \frac{38}{30} = \frac{19}{15}}$

2つの既約分数を、分母を最小公倍数に揃えることで通分し、分子を足した結果、最後に約分が発生するようなものです。

必要条件を調べていく

まず、求める「問題」を

$\displaystyle{\frac{a}{b} + \frac{c}{d} }$

とします。 $a,b,c,d$ は全て正の整数で、 $a$ と $b$ は互いに素、 $c$ と $d$ は互いに素とします。

以下、 $a$ と $b$ が互いに素であることを $a \perp b$ と表すことにします。

$b$ と $d$ の最大公約数を $g$ として、

$b = gB$

$d = gD$

とします。

必然的に $B \perp D, \, \, a \perp B, \, \, c \perp D, \, \, a \perp g, \,\,c \perp g$ です。

$b$ と $d$ の最小公倍数は $gBD$ となります。

すると、先ほどの問題を通分して足し算した結果は次のようになります。

$\displaystyle{\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a}{gB} + \frac{c}{gD} = \frac{aD+Bc}{gBD} }$

ここで、 $\displaystyle {\frac{aD+Bc}{gBD} }$ が素数 $p$ で約分できると仮定します。

まず、分母 $gBD$ について、

もし $B$ がpで割り切れるなら、約分できるためには $aD$ がpで割り切れなければなりませんが、 $B \perp D, \, \, a \perp B$ と矛盾します。よって $B$ は $p$ で割り切れない。

$D$ についても同様に $p$ で割り切れない。

よって $g$ は $p$ の倍数です。

$a \perp b$ つまり $a \perp gB$ より、 $a$ は $p$ で割り切れない。

同様に $c$ も $p$ で割り切れない。

次に、分子 $aD+Bc$ について、

約分できるということはこれが $p$ の倍数なので、

$aD+Bc \equiv 0 \pmod{p}$

手順

ということで、以上の議論から、次のようにすれば、条件を満たす問題が量産できそうです。

1.
素数 $p$ を決めて

2.
$p$ の倍数でない $a,D,B,c$ を
$B \perp D, \, \, a \perp B, \, \, c \perp D$ と
$aD+Bc \equiv 0 \pmod{p}$ を満たすように決めて

3.
$p$ の倍数 $g$ を $a \perp g, \,\,c \perp g$ を満たすように決めて

4.
$\frac{a}{gB} + \frac{c}{gD}$ を出題する

はい。

ただ、難しそうなのが2.ですね。

$p$ の倍数でない $a,D,B,c$ を
$B \perp D, \, \, a \perp B, \, \, c \perp D$ を満たすように

ここまでなら大したことはないです。例えば、別々の素数を割り当てて4つ全部互いに素にすればいいです。実際の条件はもっと弱いですが。

$aD+Bc \equiv 0 \pmod{p}$

これが問題ですね。

改良

ということで、ここからは、これを満たす $a,D,B,c$ の決め方を見ていきます。

以下、合同式はすべて $\pmod{p}$ とします。

$aD+Bc \equiv 0$ を変形して

$aD \equiv -Bc$

$D \perp p$ なので、 $DD^{-1} \equiv 1$ を満たす $D^{-1}$ が存在します。

それを両辺にかけて

$a \equiv -D^{-1}Bc$

$D^{-1}$ の計算は、「拡張ユークリッド互除法」を使って計算することができます。できるようです。

モジュラ逆数 - Wikipedia

ということで、 $D,B,c$ を決めれば、 $a$ を $p$ で割った余りが決まります。

あとはそれに、 $a \perp B$ を満たすまで $a$ を $p$ ずつ増やしていけば、欲しい組み合わせが見つかります。

手順(改)

ということで、改めて手順をまとめるとこうです。

1.
素数 $p$ を決めて

2_1.
$p$ の倍数でない $D,B,c$ を
$B \perp D, \, \, c \perp D$ を満たすように決めて

2_2.
$a \equiv -D^{-1}Bc \pmod{p}$ と $a \perp B$ を満たす $a$ を決めて

3.
$p$ の倍数 $g$ を $a \perp g, \,\,c \perp g$ を満たすように決めて

4.
$\frac{a}{gB} + \frac{c}{gD}$ を出題する

ということになります。

感想考察など

単にいくつかの素数を選んだら一つの「問題」がポンと出るようにできるともっと嬉しいですが、できるのか…？

なお、この手順で「約分が発生する分数の足し算」が全て生成可能かどうか(十分条件かどうか)はちゃんと検証しておりません。

全て生成可能な気はしています。多分必要十分条件になっているはず…。

必要条件ではあるはずだ(条件に当てはまらないものは生成されない)。

また、これが必要十分条件になっているとして、先程の

分数の足し算で「約分」が発生する条件(2) - tsujimotterのノートブック

に書かれている必要十分条件とどんな関係にあるのかは、僕のp進数についての理解が浅いためよくわかりませんでした。

僕の用いた $a,c,B,D$ あたりと、リンク先の記事にある $k,l$ あたりになにか関係がありそう。

ソースコードに落とし込んで実際に量産してみる

せっかくなので、今回の手法を使って「通分して足したら約分が発生する分数の足し算」を量産してみました。

https://dartpad.dev/bf5a7225bf5995e69cfe500a1af6968b

僕が最近普段使っているDartという聞き慣れない言語を使ってしまいましたが、何をやっているかは見て取れると思います。

コメントもつけていますし、変数名はこの記事と揃えてあります。

リンク先は実行環境とセットなので、コードを書き換えて色々実験することも可能です。

ただし、記事内の手法で生成可能な全てのパターンは網羅していませんのでご注意ください。

$B,D,c$ は素数しか入れてないし、 $a$ は最初に見つかった奴しか使ってないし、 $g=p$ に限定してます。