２つの物体がエネルギーを交代でやりとりする奴を「うなり」と「振動モード」の観点から説明する

まずはこちらの映像を御覧ください。

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２つの物体が振動してますね。

そして、それぞれ勝手に振動しているのではなく

片方の振動が大きくなるともう片方は小さくなり、一瞬止まります。そしてまた振動し始める。

２つの物体が、エネルギーをやり取りしてるわけです！なんだこれは！！

(GIFの容量の関係で、ループする瞬間の所が若干見苦しいんですけども…。)

両方同時に大きく振動することはないですね。エネルギー保存の法則から言ってそれは理解できる。

こういう現象は、この形の２つの物体でなくても起こせます。振り子を２つ使ったり、１つの物体の回転運動と往復運動の間でエネルギーをやり取りさせたりすることもできます。

あ、この映像はシミュレーションですが、もちろん実際にできます。

実は、昨日と一昨日書いた記事は、この記事が書きたいがための準備でした！

すべてはこのため、この時のため！

【うなり】
agajo.hatenablog.com

【振動モード】
agajo.hatenablog.com

この「交互に止まったりまた動き出したりする」という現象が、不思議でしょうがなくてですね。

でも「うなり」と「振動モード」を理解すると、これが理解できるようになるので、どうしても解説したいんですね。なので聞いてください。

運動方程式を立てよう！

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【振動モード】の記事ではバネは３つとも同じバネ定数にしましたが、今回は真ん中だけ別のバネ定数にします。

物体は２つとも質量mです。

左の物体の位置をx₁、それにかかる力をf₁とします。右の物体が２ね。

${\displaystyle f_1 = -(k_1+k_2)x_1 + k_2x_2 = m \ddot x_1 \\\ f_2 = k_2x_1 - (k_1+k_2)x_2 = m \ddot x_2 }$

${\displaystyle \begin{pmatrix}-(k_1+k_2) & k_2 \\k_2 & -(k_1+k_2)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} \ddot x_1 \\ \ddot x_2 \end{pmatrix} }$

xの上の点は時間微分です。２つ付いてるので二階微分。加速度のことですね。

固有値分解して解こう！

こういう連立微分方程式は「振動モード」に分解して、それぞれのモードについて普通に微分方程式を解くんでしたね。

計算過程は省略しますが、こいつは固有値分解すると、振動モードの記事の時と同じ ${V=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}}$ という行列が出てきます。

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このケースでもこの２つの振動モードの重ね合わせになることを意味してます。

質量とかバネ定数をいじると必ずしもこのモードにはならないです。今回はたまたまです。左右対称な設定だからかな。

対角行列は ${\Lambda=\begin{pmatrix}-k_1 & 0 \\ 0 & -k_1-2k_2\end{pmatrix}}$ となって、

$\Lambda V \mathbf{x} = m V \ddot{\mathbf{x}}$

が成り立つんで、

$\Lambda \mathbf{x} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix}x_1 + x_2 \\ x_1 - x_2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \mathbf{y}$

ってな感じでyを導入すると

$\begin{pmatrix}-k_1 & 0 \\ 0 & -k_1-2k_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} \ddot{y_1} \\ \ddot{y_1} \end{pmatrix}$

つまり

$-k_1y_1 = m \ddot{y_1}$
$(-k_1-2k_2)y_2 = m \ddot{y_2}$

となります。

2階微分して、元の関数のマイナス定数倍になるので、三角関数です。

ちゃんと解くなら本当は定数を２ついれないといけないのですが、今日も振幅と位相は適当に決めちゃって、こんな感じにしてみよう。

${ y_1 = 2\cos\left(\sqrt{\frac{k_1}{m}}t\right)}$
${ y_2 = 2\cos\left(\sqrt{\frac{k_1+2k_2}{m}}t\right)}$

そしてここから、それぞれの物体の運動を求めると

${ x_1 = \cos\left(\sqrt{\frac{k_1}{m}}t\right)} + \cos\left(\sqrt{\frac{k_1+2k_2}{m}}t\right)$
${ x_2 = \cos\left(\sqrt{\frac{k_1}{m}}t\right)} - \cos\left(\sqrt{\frac{k_1+2k_2}{m}}t\right)$