「うなり」と「和積公式」 - 岡竜之介のブログ

うなり

高校物理で「うなり」というものを習いますね。

どういうものかというと

「周波数のわずかに違う２つの波を重ね合わせると、その２つの周波数の差を周波数として、振幅が大きくなったり小さくなったりする」

という現象ですね。

音で実際にやってみると、「ウワンウワンウワン」という響きがしてよくわかります。

何が起こっているかというと…

わずかに周波数がズレているから、ある所では同じタイミングで山や谷が来て強めあっていたものが、しばらくするとタイミングが逆になって弱め合うようになるんですね。

グラフで言うと

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こんな感じ。ここには２つのグラフが同じ座標上に書いてあります。周波数は 3.5 と 3.7 です。

これを実際に足し合わせた結果が

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こう。振幅が大きくなったり小さくなったりしてるのがよくわかります。

さて。

これ、なんで、うなりの周波数は「２つの波の周波数の差」になるんでしょうね。

それを式で考えてみましょう。

和積公式

三角関数の和積公式という公式があります。

${\displaystyle \cos{x} + \cos{y} = 2 \cos {\frac{x+y}{2}} \cos{\frac{x-y}{2}} }$

こんな奴。他にも種類がありますが

全部、加法定理から導き出せるので、僕は受験生時代これをまったく覚えてませんでした。存在だけ知ってれば十分。

今も覚えてません。

さて、今ここに、先程の２つの波の式を代入してみましょう。

${\displaystyle \cos{(3.7\cdot2 \pi x)} + \cos{(3.5 \cdot 2 \pi x)} = 2 \cos {\frac{3.7 \cdot 2 \pi x + 3.5 \cdot 2 \pi x}{2}} \cos{\frac{3.7 \cdot 2 \pi x - 3.5 \cdot 2 \pi x}{2}} \\ = 2 \cos {\cfrac{7.2 \cdot 2 \pi x }{2}} \cos{\cfrac{0.2 \cdot 2 \pi x }{2}} \\ = 2 \cos {(3.6 \cdot 2 \pi x)} \cos{(0.1 \cdot 2 \pi x )} }$