岡竜之介のブログ

岡竜之介のブログです。

「振動モード」と「固有値分解」

数学・物理

あんまりガンガン表に出してないですが、僕の大学時代の専門は「構造力学」でして

今日はそこから、「モード」の話です。

「モード」と言っても流行とかモード学園の話ではありません。

今日使うモデル

まずはこちらの映像を御覧ください。

f:id:agajo:20161101062050g:plain


２つの物体が不規則な動きをしてますね。

バネ定数と質量はこんな感じです。

f:id:agajo:20161101062827p:plain


バネ定数は３つともkで、質量は２つともm。メチャクチャ分かりやすいですね。

あ、減衰は考えません。摩擦も空気抵抗もなし。


じゃあここからガンガン数式使っていきますね。


力とか位置とか加速度とかは全部右側を正とします。

まず２つの物体それぞれについて運動方程式を立てますよ。

左の物体の位置をx1、それにかかる力をf1とします。右の物体が２ね。

{\displaystyle f_1 = -2kx_1 + kx_2 = m \ddot x_1 \\\ f_2 = kx_1 - 2kx_2 = m \ddot x_2 }

xの上の点は時間微分です。２つ付いてるので二階微分。加速度のことですね。

ということで、連立微分方程式になりました。これどうやって解くんでしょうね。

線形代数の力を使って対角化します

まず、この連立方程式を行列で表してみましょう


{\displaystyle \begin{pmatrix}-2k & k \\k & -2k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} \ddot x_1 \\ \ddot x_2 \end{pmatrix} }

さらにこれを適当に置き換えて

{\displaystyle K \mathbf{x} = m \ddot{\mathbf{x}} }

う〜んシンプル。良い。


で、唐突ですが、

{V=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}}

{\Lambda=\begin{pmatrix}-k & 0 \\ 0 & -3k\end{pmatrix}}

という２つの行列を用意するとですね

{\displaystyle K = V^{-1} \Lambda V }

と表せます。気になる人は計算してください。


いやどっから出てきたんだよそれー！！ふざけんなよー！！もー！！やんなっちゃうなぁー笑


と全員思ったでしょうが


大学１年の線形代数を勉強すると、どっから出てきたかわかります。ちゃんと「対角化」とか「固有値分解」っていうやり方があるんです。


{\displaystyle K \mathbf{x} = m \ddot{\mathbf{x}} }

に代入すると

{\displaystyle V^{-1} \Lambda V \mathbf{x} = m \ddot{\mathbf{x}} }


左からVを掛けると、mは定数なので

{\displaystyle \Lambda V \mathbf{x} = m V \ddot{\mathbf{x}} }



ここで、{\displaystyle \Lambda \mathbf{x}}が左辺に、その二階微分が右辺に出てきました。


これをこうします。

{\displaystyle \Lambda \mathbf{x} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} }

{\displaystyle = \begin{pmatrix}x_1 + x_2 \\ x_1 - x_2 \end{pmatrix}}

{\displaystyle = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \mathbf{y}}

すると先の式はこう書けます。

{\displaystyle \Lambda \mathbf{y} = m \ddot{\mathbf{y}}}


成分でちゃんと表示してみましょうか。

{\displaystyle \begin{pmatrix}-k & 0 \\ 0 & -3k \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} \ddot{y_1} \\ \ddot{y_1} \end{pmatrix} }


最初の
{\displaystyle \begin{pmatrix}-2k & k \\k & -2k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} \ddot x_1 \\ \ddot x_2 \end{pmatrix} }

と比べると、左端の行列が対角化されてます。


行列形式をやめて、成分別の連立方程式になおしてみましょうか。

{\displaystyle -ky_1 = m \ddot{y_1} }
{\displaystyle -3ky_2 = m \ddot{y_2} }


あれ？　これ、連立してないですね。

これは普通にそれぞれ微分方程式として解けますよ。

2階微分して、元の関数のマイナス定数倍になるので、三角関数ですね。

ちゃんと解くなら本当は定数を２ついれないといけないのですが、今日は振幅と位相は適当に決めちゃって、こんな感じにしてみよう。

{ y_1 = 2\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)}
{ y_2 = 2\cos\left(\sqrt{\frac{3k}{m}}t\right)}


おお〜微分がなくなった！

そしたら今度は

{ y_1 = x_1 + x_2 = 2\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)}
{ y_2 = x_1 - x_2 =2\cos\left(\sqrt{\frac{3k}{m}}t\right)}


をxについての連立方程式として解けば、完成です。

x1もx2も、２つの波の重ね合わせになります。


{ x_1 = \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)} + \cos\left(\sqrt{\frac{3k}{m}}t\right)
{ x_2 = \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)} - \cos\left(\sqrt{\frac{3k}{m}}t\right)


できた！！

片方の動きをグラフにするとこんな感じになります。右が時間軸ね。

f:id:agajo:20161101134427p:plain

振動モード

線形代数的な手法で、それぞれの物体の動きを求めることが出来たけれども

途中に出てきた「y」ってなんなんでしょうね。


まずy1について考えてみよう。


{ y_1 = x_1 + x_2 = 2\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)}


実はこれ、全体的な移動を表してるんですね。x1が右に行ってもx2が右に行っても、y1は大きくなるわけです。

両辺を2で割ってみると、重心の変位を表してることがよくわかります。

(もとのxが、それぞれの初期位置からの変位なので、重心についても位置ではなく初期位置からの変位を表してることに注意)

つまりこういうこと。

f:id:agajo:20161101133144g:plain



それに対して、

{ y_2 = x_1 - x_2 =2\cos\left(\sqrt{\frac{3k}{m}}t\right)}

これは、２つの物体の対称的な運動を表してます。x1が左に移動し、x2が右に移動する時に、y2は大きくなるわけです。

f:id:agajo:20161101134036g:plain


つまり！この２つの物体は、全体として見ると

「全体としての運動(重心の運動)」
「対称的な運動」

の２つの運動の重ね合わせで運動してるわけです！


なるほどね〜。

ちなみに周波数は、対称運動が全体運動のルート3倍なので、全体としては周期性のない運動をしてることになりますね。へ〜。


このそれぞれの運動を「モード」とか「振動モード」とか言います。

行列で表した運動方程式を固有値分解・対角化すると、この「モード」が出てくるんですね。

この「モード」は結構理解しやすい運動を表していて、個々の物体はこの「モード」の重ね合わせで動きが決まるわけです。

以上！！

「うなり」と「和積公式」

数学・物理

うなり

高校物理で「うなり」というものを習いますね。

どういうものかというと

「周波数のわずかに違う２つの波を重ね合わせると、その２つの周波数の差を周波数として、振幅が大きくなったり小さくなったりする」

という現象ですね。

音で実際にやってみると、「ウワンウワンウワン」という響きがしてよくわかります。

何が起こっているかというと…

わずかに周波数がズレているから、ある所では同じタイミングで山や谷が来て強めあっていたものが、しばらくするとタイミングが逆になって弱め合うようになるんですね。

グラフで言うと

f:id:agajo:20161031174725p:plain

こんな感じ。ここには２つのグラフが同じ座標上に書いてあります。周波数は 3.5 と 3.7 です。

これを実際に足し合わせた結果が

f:id:agajo:20161031174932p:plain

こう。振幅が大きくなったり小さくなったりしてるのがよくわかります。

さて。

これ、なんで、うなりの周波数は「２つの波の周波数の差」になるんでしょうね。

それを式で考えてみましょう。

和積公式

三角関数の和積公式という公式があります。

{\displaystyle \cos{x} + \cos{y} = 2 \cos {\frac{x+y}{2}} \cos{\frac{x-y}{2}} }

こんな奴。他にも種類がありますが

全部、加法定理から導き出せるので、僕は受験生時代これをまったく覚えてませんでした。存在だけ知ってれば十分。

今も覚えてません。

さて、今ここに、先程の２つの波の式を代入してみましょう。

{\displaystyle \cos{(3.7\cdot2 \pi x)} + \cos{(3.5 \cdot 2 \pi x)} = 2 \cos {\frac{3.7 \cdot 2 \pi x + 3.5 \cdot 2 \pi x}{2}} \cos{\frac{3.7 \cdot 2 \pi x - 3.5 \cdot 2 \pi x}{2}} \\ = 2 \cos {\cfrac{7.2 \cdot 2 \pi x }{2}} \cos{\cfrac{0.2 \cdot 2 \pi x }{2}} \\ = 2 \cos {(3.6 \cdot 2 \pi x)} \cos{(0.1 \cdot 2 \pi x )} }

このうちの、{2 \cos{(0.1 \cdot 2 \pi x )}} を、先程のグラフに書き足すと、こうなります。

f:id:agajo:20161031180508p:plain

おお！うなりを表す線が出てきた！

この線の周波数は0.1ですが、うなりの周波数はこの２倍になります。

この線の波長は谷→山→谷で測りますが、うなりの波長は大→小→大の部分で測るからです。

この線が谷→山→谷といく間に、うなりは大→小→大→小→大と２波長分ありますね。

ということで、うなりの周波数は結局0.2となり、これは元の波の周波数の差3.7-3.5に一致するわけです。

なるほど！

そして、この線に、周波数3.6(=3.7と3.5の平均)の波を掛けると、{2 \cos{(0.1 \cdot 2 \pi x ) \cos {(3.6 \cdot 2 \pi x)}}}となって、オレンジ色のグラフが得られます。

cosはsinは[-1,1]の範囲で振動するので、ある曲線fにこれを掛けると、fと-fの間で振動する曲線が得られるわけです。

結論

周波数の僅かに異なる２つの波を足し合わせると

その平均の周波数で振動し、その差の周波数のうなりを持つ波ができる。

そのことは、和積公式からわかる！

壁画&タコス クロール

サンフランシスコ

Mural and Taco Crawl というイベントに参加してきました。

Muralは壁画、Tacoはタコスのことです。複数形がTacosなんですね。Maracaみたいですね。日本語でマラカス。

"Crawl"はなんて訳せば良いんでしょうね。複数の店をはしごする、って感じのイメージなんですが〜

はしご、でいいのかしら。他に日本語が見つからない。

なんでこれを「はしご」っていうのかもよくわからないけど。

Murals

「壁画」って言うと、なんかこう、古代の神殿？洞窟？みたいな印象ですが、

ここでいうMuralsはこういうのです。

古代の神殿ではなく、最近の「ガレージのシャッター」です。

余談ですがGarageはガラージと読みます。ラはrの発音ね。

サンフランシスコのミッションエリアには、こういった「壁画」が大量にあるエリアがあるんです。

「ガード下の落書きじゃねーか！」って全員思ったでしょうが、

なんでも、建物の所有者がアーティストに依頼して書いてもらう文化があるみたいです。へ〜。

こういうのを見ながら、みんなでわいわい練り歩きながら途中でタコス屋に寄ってタコスを食べるイベント。

楽しそうですね。

適当に紹介していきます。

女の人がなんか言ってます。

台詞の中に表みたいなものがあって、どうやって発言してるのか意味不明ですね。

っていうか、この台詞の部分、もともとの絵の上に誰かが落書きしたっぽい？

顔の上にも落書きがたくさんあるけど、これも含めて作品なのか、あとから誰かが勝手に書いた落書きなのか判断がつかないですね。

奥の建物。馬鹿でかいです。

ガード下の落書きの域は超えてますね。

どうやって書くんでしょうね。上からザイルでぶら下がるんですかね。いや、鳶が足場を作るのか。

何を表現しているのかさっぱりわからない。

文字なのか、記号なのか、絵なのか、それすらもわからない。

まあ、その、あれですね。

紫地にシルバーで、ハッキリとした黒縁と所々のハイライトで、全体にバキッ！ビカっ！としてますね。

奥の建物。馬鹿でかい。パート2。

これがこの一帯で一番有名らしいです。でかくて、手前にじゃまになるものがなくてよく見えるからかな。

見た「壁画」の中で一番写実的な奴。

それでもかなりデフォルメされてるけど。

muniバスが写ってますね。バスの路線の番号も書いてあります。

これは、当日の写真です。

f:id:agajo:20161030164400j:plain

Tacos

このイベントのもう一つの目的、それがタコス。

３軒はしごしました。

これが１軒目。

なんていうか、デカイです。デカイっていうか、いれすぎです。

もっとこう、その餃子の皮みたいな部品にある程度おさまるようにだね…。

まあ、量が多い分にはいいんだけどね！

そして２軒目。

自分で畳んでね、っていうスタイル。

まあ一枚目の写真を見てもわかるように、どう考えても畳めません。落ちます。

そして３軒目。

ここでは魚の奴を頼んでみたんですが、白身魚のフライがドン！っと乗っかってます。

例によって全然この餃子の皮みたいな奴で包めないんですが、味はかなり新鮮で美味しかったです。

前２軒の肉肉しい感じとくらべてさっぱりしてましたね。でも肉肉しいのも美味しいよ！

f:id:agajo:20161030164424j:plain

英会話について

このイベントに参加してる間ずっと思ってたんですが

英語がわからない！

誰かと一対一で喋ってる時はそこそこわかるんですけど

例えば、企画者が全体に向けて壁画の説明をしてる時とか、３人以上の輪で相手の話しの対象が自分以外にもいる時とかは、英語に全然ついていけない。

よく参加している Pub Crawl とか Dinner Crawl なんかだと参加者が多いので誰かしらとしゃべっていられるんですが、

このイベントはそんなに人数が多くなかったので、輪に入りそこねる機会が多かったですね〜

特に歩いて移動してる時。

もっとリスニングをがんばらねば。速さに慣れることと、あとは「相手が何を言ってるか自分の側で予測できるようになること」でしょうね。

英語にかぎらず、相手の言葉を聞き取ってる時って、案外音をちゃんと聞いてなくて、「こう言ってるはずだ」っていう自分側の意識と照らし合わせて認識してるんですよね。

皆さんも、聞いた時点では何て言ったかわからなかったけど、数秒後に何かが繋がって突然聞き取れたみたいな経験があると思うんですけど、その「後から聞き取れる」をどんどんできるようにしていって、かつ、そのタイムラグを減らしていくイメージ。

サンフランシスコの体験型科学館"Exploratorium"超楽しい

サンフランシスコ

超楽しいです。

California Academy of Science が上野の国立科学博物館なら、

この Exploratorium は名古屋市科学館ですね！

…はい。意味わかんないですね。

言いたいことは、Exploratorium は体験がメインだってことです。

中超広い。

行き方

海沿いにあります。

マーケットストリートから、系列Fのmuni路面電車に乗って、海沿いのちょうどいい駅で降りてください。

右側を陣取って前方を見張っていれば、見えてから「降りますヒモ」を引いても遅くないです。

確実に降りたい方はGoogleMapsを使ってください。

系列Fは基本路面電車ですが、その線路上をそのまま走るバスもあります。乗り方はまったく同じです。来た奴に乗ればOK。

Exploratorium

入場料のいらないエリアでも、入り口展示と物販が結構面白かったです。トイレも。

で、中。

超楽しそうなことが書いてありますね。

「触れてください。ここは体験型の科学館です。ほとんどの展示はあなたが何か働きかけるまで、何も生み出しません。」

ですって！

「よく見て、疑問を持って、その答えにまた疑問を持ってください」

「一日ですべて見ようとしないでください。見るものはたくさんあるので。」

「写真を撮ってあなたの体験をシェアしてください」ってのも良いですね。動画撮ってたけど。

ということでいろいろシェアしたのでまとめていきましょう。

写真や動画を撮ったものほとんどツイッターに上げちゃったので、

入念に僕のツイッターをチェックしてくれている最高の人は、新情報が少ないかも。

今の所300リツイートくらいいきました。

今 → (2016-10-28 16:44 UTC-7)

僕としては体験そのものをシェアしたいんですが、そのものはシェアできないですからね〜

でかい半球の中で、リングを転がす展示。

公転させてみたり、スピンさせてみたり、の中で、一番難易度が高いものとして扱われていたのがこのフリップフロップです。

…多分。あってるよね？俺の英語力よ。

広いです。アフターダーク枠一回（4時間）では見終わらなかったです。

中央で円盤が回転していて、その上でいろんなものを転がす展示。

回転エネルギーのたまった物体が円盤から落ちると、バックスピンがかかっているため戻っていきます。

なんで？

片目で見ると…って奴です。映像だと両目でも良いです。

これ、手で止めれます。止めるとタネがよくわかります。

ストロボ効果とかうなりとか面白いですよね。2つの振動の間でエネルギーが行き来する奴とか。モアレとか。この辺一度まとめてみようかな。

数学的に一番関係がある公式は三角関数の和積公式ですね。皆覚えてる？

ツイートを並べちゃいましたが、ツイートせずに写真を撮っただけのものもありますよ。

ディファレンシャルギア。

通電した金属線に息を吹きかけるとそこだけ温度が下がって黒くなるというもの。

通電のスイッチを切ると全体が持ち上がります。体積が減って線が短くなるからですね。

フーコーの振り子を小さくしたやつです。

上向きの振り子をブンブン振ってる状態で、下の平面地球を回すと、振り子と地球の向き関係が変わっていきます。

干渉縞に関する展示。

赤外線カメラです。手前の3枚の板は、左から、鏡、銅板、透明のアクリルです。

赤外線カメラだと、鏡もアクリルも真っ黒になる中、銅板が鏡の役割を果たします。

知らなかった…。

眼球の中の白血球の動きが見える展示。心臓の鼓動と動きがシンクロしてることから確信できる。

晴れた空の日に空を見てても体験できることがあるらしい。

とまあこんな感じで、いろいろな展示がありました。

ギャラリーが1から6まであるうち、半分も見れてないので、また行かなきゃいけませんね。

ちょっと丁寧に見過ぎかしらね。いや、いいでしょこれくらい。

毎週木曜日の夜は通うことになるのか〜　いや2週に一回くらいでいいんじゃないか〜

この「夜」ってのがまたポイントで、アフターダーク枠でいくと、18歳以上しか入れないんですね。

昼行くときっと子供がいっぱいなのでしょう。

例えば、足からと首からで脳までの神経伝達に時間差があることがよくわかる展示があるんですが、一度に一人しかできないんですね

こういうのはきっと普段大人は遠慮することになるんでしょうが、夜だとちゃんと体験できます。

サンフランシスコに来た際は是非行ってみてください。

ゴールデンゲートパークを散策する！

サンフランシスコ

サンフランシスコの地図を見ると、ひときわ目立つ存在があります。

f:id:agajo:20161028082928p:plain

左の中央あたりにある「ゴールデン　ゲート・パーク」。

土地の利用の仕方がヤバイですね。

ここ潰して家の数増やしたらもうちょっと家賃安くできるんじゃないかしら。

そういう問題じゃないか？

このゴールデンゲートパークをふらふらと散策してきました。

中はこんな感じ

ポケストップがいっぱいありますね。

ジムもあります。

聖地でしょうか？

いえ、そんなことはありません。

お気づきの方もいるかもしれませんが、これ、どれも「ルアーモジュール」がセットされていません。

これだけの密度でポケストップとジムがあり、かつ、どのポケストップも常に誰かがルアーモジュールをセットしている。

それでこそ聖地ってものです。

なのでここは聖地ではありません。残念ですね。

中はこんな感じ2

芝生で人が寝転んでたり、子供の遊具があるいわゆる「公園」って感じのエリアがあったり、ボート池があったり、運動場があったり。

なかなか、大きな公園らしいラインナップですね。

さらにこの公園には、科学館、美術館、植物園、日本庭園など、それ単体であっても十分成立するスポットがいろいろあります！

音楽ライブの会場になることも！

はい。

そうです。

皆さんお気づきの通り。

「上野公園」のでかい版です。

上野公園にも、科学博物館、美術館、ボート池、ライブ会場など一通り揃ってます。ポケスポットもいっぱいありますね。(最近ポケモン禁止になったんだっけ？)

California Academy of Sciences

科学博物館です。

中は、でっかい球体が2つあり、1つは熱帯地方を再現した植物園、もう一つはプラネタリウムです。球体の外にもいろいろ展示があります。

地下は水族館になってます。素敵。

De Young

美術館です。

こちらはまだ中入ってません。

美術館か…あんま得意分野じゃないな…と思って躊躇してます。

先にサンフランシスコモダンアートミュージアム行きたいとか思ってます。

Japanese Tea Garden

日本庭園です。

サンフランシスコに来て日本庭園見なくていいかなとか思って入るのやめちゃいました。

いや、あの、そこそこ値段するんですよ！入場料が。

de Youngはde Youngで、日本庭園は日本庭園で、科学館は科学館で、それぞれ入場料がかかるんです。

なので、入りたいぞ！って思わない限りは入らなくて良いんです。

San Francisco Botanical Garden

植物園もあります。

ここは綺麗そうだから一回入りに来ようかな。

ライブ会場にも

agajo.hatenablog.com

Hardly Strictly Bluegrass です。

詳しくは該当記事を。





ということで！

ゴールデンゲートパークの紹介でした。

次にこのゴールデンゲートパークでやりたいなあと思ってるのは、

近くにあるローラースケート屋てローラーブレート借りて、中をくるくる滑って回りたいと思ってます。

なかなか日本だと、広いエリアをローラーで滑れることないですからね。狭いトラックになってしまうので。

以上！！

岡竜之介の棲息地 Westfield SAN FRANCISCO CENTRE

サンフランシスコ

今日紹介するのはこちら、"Westfield" サンフランシスコ店です。

www.westfield.com

「それは何？」って全員思ったことでしょうが

Westfieldというのはショッピングモールの名前です。

まあ、イオンとか、そういうことですね。

東京のど真ん中だとイオンは見かけませんが、

そういう方は渋谷ヒカリエとかそういうのをイメージしてもらえれば、大体そんな感じ。

場所

この Westfield は、サンフランシスコのど真ん中にあります。

マーケットストリート上の、ケーブルカーストップがあっていつも賑わっている"Powell"駅にドーンとあります。

地下鉄のPowell駅からそのままWestfieldの地下階に入ることもできます。

ショッピングモールと言うと、以前紹介した PIER39 がありましたが

agajo.hatenablog.com

こちらのWestfieldはまた雰囲気が全然違います。

まあ、渋谷ヒカリエみたいなイメージですね。ショッピングモールです。そんなに珍しくないです。なんかすいません。

ただ一方で！！

これは珍しいと俺が思ったのが！！

曲がったエスカレーターがあるんですよ！！これすごくない？？？

一つ一つの段を扇形に作れば、確かに可能か…？とは思うけど、実際に動いてんだもんね。目の前で。

これはすごい。もはやこれを見にサンフランシスコまで来たようなものですね。

フードコート

ショッピングモールなので、フードコートがあります。

いくつかお店を紹介すると

スープ屋

スープ屋です。写真の撮り方の関係でやたら暗いですね。私のミスです。

サンフランシスコは海沿いの街なのでクラムチャウダーが割りと有名みたい。港のあたりだけかもしれないけど。

Sarku JAPAN

なんとかJAPANです。

JAPANって付いてますが、店内で飛び交ってるのは中国語です。

味千ラーメン

味千ラーメンです。看板にもバッチリ日本語が書いてありますね。

世界中にあるチェーン店らしいです。日本にも90店舗ほどあるらしい。行ったことなかったけど。

メニューはもう、まともにラーメン屋です。

余談ですが、ここのラーメンを食べてたら斜向いの席に座ったおばあさんが話しかけてきて、

どこから来たのかとかどのくらいいるのかとかそういう話になったのですが

このおばあさん、"Cold Ramen" を注文して、来たラーメン(まともな冷やし中華でした)が冷たかったので「こんなもの食べられない」と文句を行って食べずにお金も払わずに帰っていきました。

店員さんは「Coldと書いてあるのだから冷たいとわかるはず。」と言ってました。

marbles the brain store

フードコートから少し外れたところにある、パズルやボードゲーム、対戦形式のおもちゃなんかを扱うお店。

こういう所に入ると僕はなかなか出てこなくなります。

ワクワクしますね。

ちなみに、パズル屋はPIER39にもありましたね。

服屋

ショッピングモールなのでいろんなブランドの服屋が並んでいます。

日本と同じですね。

僕は服のブランドには疎いのであんまりまわってません。

ただ、「Superdry 極度乾燥（しなさい）」の店は入りました。

僕はこのロゴが思いっきり入ったTシャツがあったら欲しいと思ったのですが

普通にかっこいい服が並んでて、そういうTシャツはなかったので、諦めました。

5階

5階もフードコートみたいになってて、歓談したり勉強したりできるスペースがあります。

こちらにある店はいささか高級そうでしたね。

そして、この5階は、デパートNORDSTROMの最下階になってます。

NORDSTROMへの登っていくと、階下のショッピングモールとくらべてかなり高級そうな服屋が並んでます。

イオンの上に松坂屋がくっついてるようなイメージですね。わかりやすいですね。

まとめ

僕、岡竜之介は、このWestfieldの地下か5階のスペースで何か食べてるか勉強してるか記事書いてるかしてることがよくあります。

僕がサンフランシスコにいる間にサンフランシスコに来る予定のある方は、覗いてみてください。

図書館にいる可能性も高いけど。

ていうか何かしらで連絡とったほうが確実に会えるけど。

「自然数の集合のべき集合」と「実数の集合」が同じ濃度であることの証明

数学・物理

どうも。サンフランシスコからこんにちは。

なんでサンフランシスコにいるのに数学の記事書いてるの？って言うと、僕が趣味で勉強してるからです。

公立図書館に行って、数学やって、動画編集して、Google Earthのフライトシミュレーターで遊んで、帰ってくる。

そうですね。

日本でも出来ますね。

何しに来たんた！！まったく！！！！！

いや、あるんですよ、メリット。

僕今仕事も就活もなんにもしてないんですけど、

特に怒られたりしてないんですね。

日本で同じことやってたら「あんたこれからどうすんの」みたいなことをちょくちょく言われると思うんですが

サンフランシスコに来てるっていうだけで、別に通信機器は同様に使えるにも関わらず、言われなくなるっていうね。

はい。

ESTAの限界が来て滞在許可が切れたときに、きっと地獄を見るんでしょうね。

では数学の話です。

「自然数の集合のべき集合」と「実数の集合」が同じ濃度であることって、知識としては知ってるけどちゃんと証明したことなかったりしますよね。

濃度？

集合の要素の個数のことです。でも無限集合だと「無限！」になってわけわかめなので、「濃度」という概念を使います。

概念。かっこいいですね。

単射 {f:A \to B} が存在したら、濃度は {|A| \leq |B|} です。

全単射があったら等しいです。全単射がなかったら等しくないです。両方から単射があったらそれは全単射があるから等しいわけですね。すごいね。

有限集合の「要素の個数」もこれを満たします。すごいね。

自然数の濃度

皆さんは友達が無限人いると思いますが、それらの友達を知り合った順に並べて1から番号を付けることができますね。

その友達の人数が、自然数の濃度です。{|\mathbb{N}}|と書きます。例が身近で分かりやすいですね。

人に番号を付けるなんて、囚人みたいですね。友だちを囚人扱いするなんてあなたは最低です。

実数の濃度

実数は身近な例ないです。

自然数→実数 の単射はあるけど(包含写像とかね)、実数→自然数 の単射はないので、

濃度で言うと 自然数<実数 です。{|\mathbb{N}| \lt |\mathbb{R}|}と書きます。

自然数のべき集合の濃度

皆さんはいつも「今日は誰とつるもうかな〜」なんて考えてますが

そのつるむ友だちの選び方の数が、自然数のべき集合の濃度です。

有限人呼んでもいいし、無限人呼んでもいいです。全員呼んだり一人も呼ばなかったりしてもいいです。

この濃度も、自然数の濃度より大きいです。

{|\mathbb{N}| \lt | \mathfrak{P} (\mathbb{N})|}と書きます。

Bかβみたいに見えますがPです。わかりにくいですね。

教科書にも出てきましたけど、ずっとBたと思ってましたよ。今この記事を書きながら、Pを入力したらこれが出たのではじめて知りました。

まだまだ皆さんの人生もこれから初めて知ることはたくさんあると思いますよ。

{ |\mathbb{R}| = |\mathfrak{P} (\mathbb{N})| }

はい。これを証明することが今日のテーマです。

ここまでは前提知識です。

前提知識、全然丁寧に解説してないのにやたら文字数を食っているのは何なんでしょうね。

余計な話をしてばかりいるからでしょうね。

よくあるんですよ、余計な話をして、後から「俺なんで今こんな話したんだろう」って後悔すること。

「相手に『この人はなんで今こんな話をしたんだ？』って思われてたらやだなあ」とか、思いますよね。

でも、多分、相手は僕やあなたにそんなに興味持ってないので、多分何も考えてないです。

だから大丈夫です。自信を持って明日を生きてください。

はい。

{\displaystyle | (0,1] | = | \mathbb{R}| \tag{1} }

まずこれが大事です。実数全体と(0,1)をタンジェントとかをうまく使って一対一対応させて、端っこの1については順次{\cfrac{1}{2^n}}に写すとかして対処すれば、全単射を作れます。

それができたら、

{\displaystyle | (0,1] | = | \mathfrak{P}(\mathbb{N})| \tag{2} }

を証明することで、題意{ |\mathbb{R}| = |\mathfrak{P} (\mathbb{N})| }を証明します。

まず、{\ (0,1\} |}の全ての元を、二進数の無限小数で表します。

0.011000110110…

みたいになりますね。

0.1

みたいな奴は

0.0111111111111111......

として表すことにします。決して0.100000000000000...にはしません。

これで、{\ (0,1] }の全ての元を、無限小数で一通りに表すことが出来ました。

この「一通り」が大事です。彼女も同意なしに2人作ると怒られますね。それとまったく同じです。

ちなみに、彼女の場合は同意があれば何の問題もありません。本人が決めることであって、他者がどうこういう話ではありません。

夫婦別姓とか同性婚とかの話も、本人が良ければそれで良いのです。他人が「こうあるべきだ」とか言う話ではありません。

ちなみに数学は同意してくれないので、一通りじゃなきゃダメです。

で。

この小数表示に対して、小数第何位に1があるかを調べて、その数字の集合を対応させます。

例えば

0.101010110... という小数に対しては

{1,3,5,7,8,...} という集合を対応させます。小数が無限小数なので、必ず無限集合になります。

おお！なんか、実数と自然数のべき集合が対応してきましたね！！

小数から自然数の無限集合がただ一つ定まるし、

逆に自然数の無限集合から、小数がただ一つ定まります！

でもまだダメです。

{\mathfrak{P}(\mathbb{N})}には、有限集合も含まれてます。

あとは、{\mathfrak{P}(\mathbb{N})}と、ここから有限集合を抜いたものの濃度が等しいことを言えば、完了です。

ここで、{\mathfrak{P}(\mathbb{N})}を3つの部分に分けます。

有限集合を集めてA1にします。

A1の補集合を集めてA2にします。A2の要素は全部無限集合です。

それ以外は全部A3にします。

A3は、それ自体も、その補集合も無限集合になるような奴が集まってるってことですね。

A1とA2とA3に被りはなく、A1∪A2∪A3は{\mathfrak{P}(\mathbb{N})}に一致します。

はいここで

A1は、要素の合計が小さい順に並べて、同じ合計値のものは辞書順に並べると、自然数の番号を振ることが出来るので、自然数と一対一対応が作れますね。

今度は同じ番号を、A1の要素の補集合の方に振っていくと、A2と自然数の集合の一対一対応が作れますね。

さらに。今度はA1の要素に番号を振っていくときに、その補集合にも交互に番号を振っていくことにします。

すると、今度はA1∪A2にも、自然数との一対一対応が作れましたね。

はい、これで |A1∪A2| = |A2|が言えました。

ということは、両辺に「∪A3」を付け足すと

|A1∪A2∪A3| = |A2∪A3| ですね。

これで、{\mathfrak{P}(\mathbb{N})}と、ここから有限集合を抜いたものの濃度が等しいことが言えました！

結局、辿ったルートとしては

{\displaystyle |\mathbb{R}| = |A2 \cup A3| = |A1 \cup A2 \cup A3| = |\mathfrak{P} (\mathbb{N})| }

ってことになります。

以上！！！！お疲れ様でした！！！！