岡竜之介のブログ

岡竜之介のブログです。

Muir Woods, Muir Beach and Point Bonita Lighthouse


サンフランシスコからゴールデンゲートブリッジを渡って北側に行ってきました。


ゴールデンゲートブリッジというのはサンフランシスコの北の端にあって


そこから橋を渡った向こうにも陸地が広がっているわけですね。


ということで行ってきたので報告します。


Muir Woods

日本語だと「ミュアーウッズ」と書かれてます。

Red Wood の森が有名で、森の中をハイキングできるようになってます。

駐車場はあるものの、公式サイトによると休日はすぐいっぱいになるということなので、7時半に家を出て向かうことに。

車を使えば、サンフランシスコから30分くらいです。そんなに遠くない。


写真を撮っているのは知らない人です。



ここを、歩く。




道中は、こんな感じ。レッドウッドが生い茂ってますね。


選ぶハイキングコースにも寄りますが、どのコースも数kmあるのでそこそこしんどいです。軽装で行くべき。



一応目的地に着いて振り返ると、景色はこんな感じでした。



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美しい。


ちなみに、この目的地、普通に道路が走ってます。


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森が開けてる所を、道路が走ってる感じ。FFXVみたいですね。



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橋。渡るとギシギシいいます。

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木の洞に入り込む。

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陽の光がいい感じですね。

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せせらぎにかかる橋。

Muir Beach

Muir Woods から車で10分程度走ると、Muir Beachという海岸にでます。




ここは Muir Beach Overlook という場所。いかにもOverlookって感じがしますね。

270°海が見えて、風もよく感じられてとても気持ち良い場所でした。


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ビーチ自体に出ることも出来ます。車で3分くらいかけて崖を降ります。



ビーチ。


まわりの景色。アメリカでは、都市からちょこっと離れた瞬間、ドーーンと何もない空間が広がる。この感覚は日本とはかなり違いますね。


Salsalito

お昼ごはんはSalsalito(ソーサリト)という地区でとりました。

サンフランシスコからゴールデンゲートブリッジを渡ってすぐの場所です。

クソお金持ちが住んでいる街らしいです。そうなのか…。


タコス。

「タコス」というのはTacoの複数形です。Maracaに対してのマラカスみたいな事ですね。以前別の記事で言いましたねこれ。この記事しか読まない人もいるので、複数回言ってもいいのです。


Point Bonita Lighthouse

本当は Nike Missile Site という場所にも寄りたかったのですが、この日は閉まっていたのでキャンセル。

Point Bonita Lighthouseという、昔使われていた灯台へ向かいます。


ここはゴールデンゲート海峡の入り口です。座礁事故の多いゴールデンゲート海峡では、この灯台は重要な役割を果たしたことでしょう。



この山の向こうに灯台があります。数分歩けばすぐ着きます。近くに駐車場もあります。





灯台へ向かう途中では、山の内側を通り抜けます。すげ〜。



トンネルを抜けるとこんな感じ。すげ〜。





向こうにヤバイ吊橋が見えますね。


公式サイトにも「高所恐怖症の方は渡るのをお控えください」と書いてありました。

実際、渡るとギシギシいうし、結構揺れるし、なかなかスリリングでした。まあ、別に、そんなでもないけど。


ということで、吊橋を渡って灯台に到着！！！



いや〜、良い。

道中含めてとても良い。



ということで！！

ゴールデンゲートブリッジの北側にも、遊べるところはあるよという話でした！


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Lyon Street Steps and Moraga Steps

サンフランシスコには丘や坂がガンガンあって

いろんな景観を形成してます。

agajo.hatenablog.com


ツイン・ピークスもそうだし、ケーブルカーはこうした丘を超えるためのものですね。
agajo.hatenablog.com
agajo.hatenablog.com



車が通れるような道路がとても作れない場合には、人が通れる階段だけ作って、車は迂回するようになってます。


ロンバードストリートみたいな例外もありますけど。
agajo.hatenablog.com



そして、その階段そのものに何かしらの装飾が施されていて、それ自体観光地になってる場所になってるようなケースがあるんですね。


それが Lyon Street Steps と Moraga Steps です！

Lyon Street Steps


Lyon Street Steps は、Lyon Street の途中にあります。

基本的には車が走れる Street なんですが、途中の部分が一箇所階段になってるんですね。


それがこちら。





う〜ん。写真テク！！


結構急の階段になっていて、ここを往復してトレーニングしているランナーが何人かいました。


これだけ急だとかなりキツイだろうな…

Moraga Steps

Moraga Steps も、Moraga Street の一部が階段になってるものです。

ただ、Lyon の方と違うのは、Moraga Stepsは階段の上にさらに丘の頂上部があり、その部分はMoraga Streetが一度完全に切れている点ですね。


Moraga Stepsは、その階段の垂直面にあるタイルの絵で有名です。


おお〜〜〜キレイですね〜〜！！


そしてこの階段を登りきって後ろを振り向くと…




良い景色ですね〜〜


見えている海は太平洋です。この遥か彼方に日本があるわけですね〜。



北側です。ゴールデンゲートパークとゴールデンゲートブリッジが写っています。

この丘は Grand View Park という名前がついています。そのまんまですね。

先日アップロードした僕のPPAPのロケ地の一つです。ここでルームメイトに撮影してもらいました。ありがとうごさいました。



ちなみにこの日はサンクスギビングの日だったのですが、人の混み具合はこの程度でした。


穴場なのかもしれませんね。

標準誤差の計算方法

統計の質問です。例えば、培養条件をAまたはBの2パターン設定し、各条件で培養している微生物が3サンプルずつある(e.g.各条件で3本のフラスコ、合計6本のフラスコで培養)とします。各サンプルにおける微生物の濃度を3回ずつ測定し、条件AとBそれぞれにおける濃度の平均値を比較する際、標準誤差はどう求めれば良いでしょうか？すなわち、測定値が2条件×3サンプル×3回測定=18個あり、サンプル毎の平均値や標準誤差などが求められる場合、条件毎の標準誤差を求める方法を教えてください。


僕のask.fmに来てた質問です。


これの解答を考えていたらそこそこ時間がかかってしまったので、


せっかくなので記事にまとめてみます。

標準誤差


Wikipediaによると

標準誤差（ひょうじゅんごさ）は、母集団からある数の標本を選ぶとき、選ぶ組み合わせに依って統計量がどの程度ばらつくかを、全ての組み合わせについての標準偏差で表したものをいう。

統計量を指定せずに単に「標準誤差」と言った場合、標本平均の標準誤差（standard error of the mean、SEM）のことを普通は指す。

なるほど？


例えば、母集団が{1,2,3}で、ここから標本を2つ選ぶ場合、標本のパターンは{1,2}{1,3}{2,3}で、各パターンの標本平均はそれぞれ1.5, 2, 2.5。
標本平均の平均値は2なので、標準偏差は{\sqrt{\frac{(1.5-2)^2+(2-2)^2+(2.5-2)^2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{6}}で、約0.41。これが標準誤差です。


「標準誤差」は、母集団分布と、取る標本数から決定されるんですね。

でも多くの場合、母集団分布なんてわからないので、これを推定するわけです。

普段何気なく「標準誤差」なんて呼んでる数値は、あくまで「標準誤差の推定値」もしくは「標準誤差を点推定した値」なんですね。

今回の問題の標準誤差

では始めの問題に戻って考えてみましょう。

条件はAとBの2パターンあるということですが、それぞれの条件についての標準誤差を求めればいいので、パターンの数は一つだけ考えればOKです。

サンプル数と測定回数は一般化して、こんな感じにしてみます。

同じ条件に基づいてサンプルをn本作り、それぞれm回ずつ測定した。この時の測定値の標準誤差を推定せよ。

考え方1 サンプルの違いは無視する

単純に、同じ条件に基づいてnm回測定した、と考えてみます。N=mnとします。N個の測定値が手元にあるわけですね。


ここでいくつか記号を定義します。

{w_1,w_2,...,w_N}：N個の測定値。具体的な値ではなく、確率変数とします。それぞれが平均と分散を持ちます。あと、全部独立とします。

{V}：分散。

{SD}：標準偏差。分散の平方根です。

{\displaystyle V(w_1)=V(w_2)=...=V(w_N) }
みたいに関数として表記することにします。ちなみに、測定値は全て同じ確率分布に従うので、この式は正しいです。

{\displaystyle V(w) = V(w_1) }

としておきます。


さて、求める標準誤差はどう表されるでしょうか？


標準誤差は、標本平均が従う確率分布の標準偏差です。

ということは、{SD\left(\cfrac{w_1+w_2+...+w_N}{N}\right)}が、求めたい標準誤差です。

計算すると
{\displaystyle SD\left(\cfrac{w_1+w_2+...+w_N}{N}\right)\\ =\sqrt{V\left(\cfrac{w_1+w_2+...+w_N}{N}\right)}\\ =\sqrt{\cfrac{1}{N^2} V(w_1+w_2+...+w_N)}\\ =\sqrt{\cfrac{1}{N^2} (V(w_1)+V(w_2)+...+V(w_N))}\\ =\sqrt{\cfrac{1}{N^2} NV(w)}\\ =\sqrt{\cfrac{V(w)}{N}}\\ =\cfrac{SD(w)}{\sqrt{N}} }

となります。

SD(w)には、標本標準偏差を推定値として代入しておけば良いでしょう。

考え方2 サンプルの違いを考慮する

サンプルの違いをきちんと考慮するとどうなるでしょうか。

ここで、また記号を定義します。

{u_{kl}}：k個目のサンプルから得られた、l個目の測定値。これも具体的な値じゃなくて確率変数とします。

同じサンプルから測定値を得る時は、同じ確率分布に従うものとします。サンプルの時間変化は考慮しないってことですね。


{V(u_k) = V(u_{k1}) = V(u_{k2}) = ... = V(u_{km})}とします。


{\displaystyle SD\left(\frac{1}{nm}\sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^m u_{kl}\right)} が求めたい標準誤差です。

SD()の中身は一見わかりにくいですが、測定値の平均をとってるだけです。

計算すると


{\displaystyle SD\left(\frac{1}{nm}\sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^m u_{kl}\right)\\ \displaystyle =\sqrt{V \left(\frac{1}{nm}\sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^m u_{kl}\right)}\\ \displaystyle =\sqrt{\frac{1}{n^2m^2}V \left(\sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^m u_{kl}\right)}\\ \displaystyle =\sqrt{\frac{1}{n^2m^2} \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^m V(u_{kl})}\\ \displaystyle =\sqrt{\frac{1}{n^2m^2} \sum_{k=1}^n m V(u_{k})}\\ \displaystyle =\sqrt{\frac{1}{n^2m} \sum_{k=1}^n V(u_{k})}\\ \displaystyle =\frac{1}{n\sqrt{m}}\sqrt{ \sum_{k=1}^n (SD(u_{k}))^2}\\ }


はい。これが標準誤差です。


あとは、SDに標本標準偏差でも推定値として突っ込んで、計算すれば良いでしょう。


ちなみに質問文に「サンプル毎の標準誤差が求められる」とあるので、それをsdkとして使うとすると

サンプル毎の標準誤差
{ \displaystyle = sd_k\\ \displaystyle = SD\left(\frac{u_{k1}+u_{k2}+...+u_{km}}{m}\right)\\ \displaystyle = \sqrt{\frac{1}{m^2}V\left(u_{k1}+u_{k2}+...+u_{km}\right)}\\ \displaystyle = \sqrt{\frac{1}{m}V\left(u_k\right)}\\ }

なので、求める標準誤差は

{\displaystyle SD\left(\frac{1}{nm}\sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^m u_{kl}\right)\\ \displaystyle =\sqrt{\frac{1}{n^2m} \sum_{k=1}^n V(u_{k})}\\ \displaystyle =\sqrt{\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{m}V(u_{k})}\\ \displaystyle =\frac{1}{n}\sqrt{ \sum_{k=1}^n sd_k^2}\\ }

となります。これを使うこともできますね。

で、どっちを使えばいいの？


はい。サンプルの違いを無視するバージョンと考慮するバージョンを考えましたが


結局どっちを使えば良いのか。これを考えます。


当然どちらも同じ値を指してるんですが、


推定結果に違いが出てくるんですね。


理想としては、求められる標準誤差の推定値が、小さい方がいいです。


ではここで、具体的に得られた測定値を

{x_{11},x_{12},...,x_{1m},x_{21},...,x_{nm}}とします。

これらは確率変数じゃないです。具体的な値です。


まずは、サンプルの違いを考慮したパターンの
{ \displaystyle \frac{1}{n\sqrt{m}}\sqrt{ \sum_{k=1}^n (SD(u_{k}))^2}\\ }

を使うため、SD(uk)を推定しましょう。

標本標準偏差、つまり、不偏分散の平方根を使います。「バー」は平均としますね。

{\displaystyle SD(u_k) \gets \sqrt{\frac{1}{m-1}\sum_{l=1}^{m}(x_{kl}-\bar{x_k})^2} }

引き算している平均は、サンプル毎の平均です。

代入して

{ \displaystyle \frac{1}{n\sqrt{m}}\sqrt{ \sum_{k=1}^n (SD(u_{k}))^2}\\ \displaystyle = \frac{1}{n\sqrt{m}}\sqrt{ \sum_{k=1}^n \cfrac{1}{m-1}\sum_{l=1}^m (x_{kl} - \bar{x_k})^2}\\ \displaystyle = \frac{1}{n\sqrt{m(m-1)}}\sqrt{ \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^m (x_{kl} - \bar{x_k})^2}\\ }


次に、サンプルの違いを考慮しないパターンで同じ事をしましょう。

SD(w)には、{\displaystyle \sqrt{\cfrac{1}{nm-1}\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{m}(x_{kl}-\bar{x})^2}} を推定値として代入します。

引き算している平均値が、サンプル毎の平均ではなく全体の平均になっていることに注意してください。

{\displaystyle \cfrac{SD(w)}{\sqrt{N}}\\ \displaystyle =\frac{1}{\sqrt{nm(nm-1)}} \sqrt{\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{m}(x_{kl}-\bar{x})^2} }


ということで、今、2つの推定値が得られました。


{ \displaystyle \frac{1}{n\sqrt{m(m-1)}}\sqrt{ \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^m (x_{kl} - \bar{x_k})^2}\\ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{nm(nm-1)}} \sqrt{\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{m}(x_{kl}-\bar{x})^2}\\ }

上はサンプルによる違いを考慮していて、下はそれを考慮していません。


実は、このルートの中は、上の式の方が小さくなることが言えます。

「2次のモーメントは、引き算に平均値を使った時に最小になる」という性質から

{\displaystyle \sum_{l=1}^{m}(x_{kl}-\bar{x_k})^2 \leq \sum_{l=1}^{m}(x_{kl}-\bar{x})^2 }

が言えるからです。

詳しくはこちらの動画を御覧ください。


平均は2次のモーメントを最小化する


さて。では、サンプル数を考慮した方がより小さい標準誤差が得られるのか。


これがそうはいかなくてですね。


でかいルートの前の係数部分。ここの大小が逆なんですね。



結局、どっちがいいかわからない！！！


両方計算してみて、小さい方を使えばいいんじゃ…ないかな…。


ちなみに、
・サンプル毎の測定回数が多い時
・サンプル毎の平均値がバラついている時

は、サンプルの違いを考慮した方が良いですね。

まとめ

2つ計算して小さい方を使ってください。（？）

ちなみに

母分散(母標準偏差)を推定する際に、不偏分散ではなく普通の分散(n-1ではなくnで割る奴)を使うと、係数部分はまったく同じになるので、いつでも「サンプルの違いを考慮すべき」ということになります。

でもそれじゃ正しくないよなあ…？

Thanksgiving and Black Friday

日本ではあまり耳慣れないこのThanksgiving と Black Friday。

アメリカでは11月の第4木曜日がThanksgiving、その翌日の金曜日がBlack Fridayです。

Thanksgiving


Thanksgivingは祝日で休みとなり、金曜日は休みだったり休みをとったりして連休にして、実家に帰って家族と過ごしたりするみたいです。


僕の宿でも家主が実家に戻り、家にゲストしかいないという不思議な状態に一時期なりました。



このThanksgivingは、もともとアメリカにたどりついたヨーロッパ人が、土壌の関係で作物が育てられずヤバイ事になってた時に、


現地の人からトウモロコシとかの育て方を教えてもらって、無事収穫できて生き延びることが出来たのをお祝いした、というところから来てるらしいです。


どんだけ昔から祝ってる伝統だよ。



ちなみに日本の「勤労感謝の日」が、日付も近いし名前も似てる(感謝、Thanks)んですが、関係ないらしいです。関係ないのかよ。






Thanksgivingはどのお店もお休み！！！！レストランもスーパーも休みで、この日の夕食は大変苦労しました！！


Black Friday

Thanksgivingの翌日の金曜日は、Black Fridayと呼ばれる日です。


Black Fridayは何の日かというと、「安売り」の日です。


あらゆるお店がセールをします。Amazonとかプレイステーションストアとかもセールしてました。



ショッピングモールも大混雑です。





Union Square on Black Friday

さて。


このBlack Fridayには、San Francisco の Union Square でクリスマスツリーの点灯式があります。




キレイですね〜。


僕はこの12月のクリスマスの雰囲気がめちゃくちゃ好きなんです。


イルミネーションと、クリスマスソングと。


僕をイルミネーションのキレイな所に連れてって、クリスマスソングでボコボコにしながら子供の頃の思い出とかを与えると多分心がアレして死ぬと思います。



点灯式では、何組かのゲストによるクリスマスソングの披露があった後、





はい。


カウントダウンして盛り上がってる様子とかを動画で撮影しようと思ってスマホを構えた矢先のできごとでした。


なんだよ！！！



ということで。



ブラックフライデー、楽しかったです。



また平日の夜の空いてる時間帯に改めてユニオンスクエアを見に行くとしよう。




ちなみに、ものすごい人でした。



Japan Town in San Francisco


サンフランシスコには「ジャパンタウン」と呼ばれる一角があります。
There is a place called "Japantown" in San Francisco.


ジャパンタウンでは、日本の文化にちょこっと触れることが出来ます。
You can touch the Japanese culture in Japantown.


たこ焼きです。「たこ焼きとは何なのか」っていう説明はないんですかね。
It's Takoyaki. Isn't there an explanation about what "Takoyaki" is?


建物のマップです。この建物自体は２フロアあり、建物の外にも日本的なお店がいくつかあります。中華街とかを想像すると、ずっと規模が小さい。
The map of a building. This building has 2 floors. There are some Japanese stores and restaurants outside the building. Japantown is much smaller than Chinatown.



完全に日本の居酒屋のメニューですね。これお客さん読めるのかしら？
This is a menu of Japanese sake restaurant. Can customers read this?



海苔がちゃんと外側に巻かれている寿司。サンフランシスコで見たのは初めてかも。
"Nori" is rolled outside the sushi. This is Japanese style. This might be the first time to see this style sushi in San Francisco.



ニジヤマーケットです。漢字でどう書くかは知りません。
NIJIYA MARKET. I don't know how to write "NIJIYA" in Kanji(Chinese character).

https://pbs.twimg.com/media/Cuh6fRbUIAEGVQO.jpg
ニジヤの中はこんな感じ。日本かと錯覚するくらい、中は日本のスーパーです。完全に日本のものが売ってます。
Inside NIJIYA. This is like Japanese supermarket. They sells Japanese things.



カラオケバーもあります。個室カラオケもあるらしいけど行ったことないです。
Karaoke bar. I've heard that there are private-room Karaokes. I've never been to them.


栄光の架け橋を全力で歌っている私。
It's me singing "Eiko no Kakehashi".



紀伊國屋書店です。あの「紀伊國屋書店」です。
Kinokuniya book store. Most Japanese people know Kinokuniya book store in Japan.


プリクラコーナー。サンフランシスコの人はプリクラ撮るのかしら。
These are "Purikura(Print Club)". I wonder people in San Francisco take Purikura pictures.




今日はこのJapantownでカツ丼を食べてきましたよ。おいしかったです。
Today, I ate "katsudon" in Japantown. It was nice.

ブラジル人の友だちも食べましたが、気に入ったようです。
My Brazilian friend also ate one and he liked it.



でもあんこ入りの串団子は気に入らなかったようです。日本人でもあんこや和菓子嫌いな人はそこそこいるので、まあわかる。
However, he didn't like "kushi dango" with "anko". Because some Japanese people don't like "anko" and Japanese traditional sweets, we can understand him.


あと韓国人の友だちはラーメン食べてました。満足したようです。
My Korean friend ate Japanese Ramen. He looked satisfied.

China Town


サンフランシスコには、アメリカ最大と言われる中華街があります。
In San Francisco there is a Chinatown, which is said to be the largest in the US.


そこへ、行ってきましたよ！
I went there!


もうサンフランシスコに来て2ヶ月経つというのに、まともに中華街を探索したのは今日が初めてです。
Today is the first time I have explored Chinatown even though I have already been in San Francisco for two months.


アジアンな雰囲気と、高層ビル「トランスアメリカ・ピラミッド」のギャップが最高ですね。
The gap between the Asian atmosphere and the skyscraper "Trans America Pyramid" is amazing.




並んでる商品も中国語が書いてある。でもたまに日本語がまざってる。
Chinese language is written in goods. But sometimes Japanese is written there.



量り売りがあるといかにもって感じですね。
Selling by weight. It's very good.



提灯。
Paper lanterns.




そこら中でカードゲームをしていた謎の公園。お金賭けてるのかしら。中国将棋みたいなゲームやってる人もいた。
A mysterious park where card games were played around. I wonder if they're betting money. Some people were playing games like Chinese Shogi.




昼ごはん。焼売と、豆腐と豚肉の炒め物。完全に食べすぎました。
Lunch. Shumai, fried tofu and pork. I ate too much.


量的には、焼売つける必要なかったな…。でも食べたかったんだよなあ。うまかったし。
Quantitatively, I did not need to add Shumai. But I wanted to eat it. It was delicious.

散髪 Haircut

中華街に行った目的は、ご飯と、もう一つ「散髪」がありました。
The purpose to visit China Town was lunch and haircut.


2ヶ月行ってなかったので、そこそこ伸びてきたんですよね。
It was for the first time in 2 month.

果たして、英語で注文をきちんと伝えることができるか！！
Can I order in English????

写真とか持ってくるべきだったんでしょうけど、それだと楽しくないので、ここは口頭でチャレンジ！
I know that I should bring a picture or something, but it's not interesting. Let me order by speaking!!



Before


After

うん。まあ、なんとかなったね。
Well, it was OK.


予約してた人が来てなくて、僕が先にやってもらい始めた瞬間に予約の人が来て待たせてしまったり
Because the person who had made a reservation did not come, I got first. However, soon after starting, the person came.


「今日はどうしましょうか？」と聞かれて「Make them short!!」しか言えなかったりしましたが
I could order by just saying "Make them short!!!"


まあなんとかなりました。
Well, it was OK.


「写真とかないですか？」って普通に聞かれたので、まあ、アレですね、僕が楽しいとかじゃなくて、相手を困らせないためにも何か持っていくべきでしたね。
I think I should have brought a picture not because of my interest but because the barber would get bothered if I did not have one.

まとめ

中華街の雰囲気はとても楽しかったです。
The atmosphere was very good.

ご飯も美味しかったし。物価はサンフランシスコ価格だったけど。
The food was nice. Prices was like in San Francisco....

いいね。中国か台湾行きたくなってきた。あと中国語喋りたい。
Good. Now I want to go to China or Taiwan. In addition, I want to speak Chinese.