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岡竜之介のブログ

岡竜之介のブログです。

入試に「フェルマーの最終定理」"Fermat's last theorem" in a university entrance exams

数学・物理 Mathematics Physics

(I know that my English is not correct. If you correct my English, I get very happy.)

わりと有名な話なのでそこそこ既に語られた話ですが
This is a famous story and many people has already talked about this.


僕もこの話したいのでさせてください。
However, I want to talk about this, too. Let me do this.


僕はこの問題を、浪人時代に予備校の塾の先生から教えてもらいました。
I was taught this problem by my teacher in the cram school.

全文

「nを2より大きい自然数とするとき {x^n+y^n=z^n} を満たす整数解 {x,y,z(xyz \neq 0)} は存在しない」というのはフェルマーの最終定理として有名である.しかし多くの数学者の努力にもかかわらず一般に証明されていなかった.ところが1905年にこの定理の証明がワイルスの100ページを超える大論文と,テイラーとの共著により与えられた.
当然 {x^3+y^3=z^3} を満たす整数解 {x,y,z(xyz \neq 0)} は存在しない.

さてここではフェルマーの最終定理を知らないものとして次を証明せよ.

{x,y,z} を0でない整数とし,もしも等式 {x^3+y^3=z^3} が成立しているならば,{x,y,z} のうち少なくとも一つは3の倍数である.
1998年 信州大

"When n is a natural number bigger than 2, there is no integer solution of {x,y,z(xyz \neq 0)} ". This is famous as Fermat's Last Theorem. This had not been generally proved in spite of many mathematicians' efforts. However, in 1905, this was proved by Wiles paper which had more than 100 pages and Taylor and Wiles's book. Of course, there is no integer solution of {x^3+y^3=z^3}.

Here, assuming that you don't know Fermat's final theorem, prove this.

{x,y,z} are integers which are not zero. If {x^3+y^3=z^3} is true, at least one of {x,y,z} is multiples of 3.
1998 the university of shinshu

僕の反応

この問題を先生が紹介した時、僕はめちゃくちゃな問題だなと思いました。
When I heard this problem by my teacher, I thought this problem didn't make sense.


{x^3+y^3=z^3} を満たす整数解 {x,y,z(xyz \neq 0)} はないんですよ?
There is no integer solution of {x^3+y^3=z^3}, isn't it?


それをあると仮定してどうのこうのって、言ってる意味がわからない。
They say to assume that there is a solution. I can't understand.




そして先生はこう続けました。
And the teacher said...



「当時この問題を批判した人がいました」
"Some people criticized this problem."



なるほど。まあそうだろうなあ。
I see. I can understand them.




「でも、これはちゃんとした問題ですよ」
"However, this is a good problem."



なに?
What?


何故これがちゃんとした問題か Why is this a good problem?


その後先生の話を聞いて、僕も納得しました。
After that, I heard what the teacher said and I understood.



何かを仮定してそこから何か言うことは、何も論理的に間違ってないんですね。
Assuming something and saying something are logically good.



例えば、この問題は、フェルマーの最終定理の証明の一部になる可能性があるんですよ。
For example, this problem can be a part of the proof of Fermat's final theorem.



x,y,zの少なくとも一つが3の倍数になることが言えたら、
If it was proved that at least one of x, y and z was multiples of 3,


もしその後別の所から、x,y,zがどれも3の倍数でないケースが作れると、
and if the case was made that all of x, y and z are not multiple of 3,


矛盾が言えるので、仮定が間違ってることが証明できるんですね。
then it's contradiction and it is said that the assumption was incorrect.



その証明の一部になりうるのが、この問題なんですよ。
This problem can be a part of the proof.



フェルマーの最終定理の結論ありきで「存在しないものを仮定するな」なんて言うほうが、論理的に正しくないわけです。
It is not logically good to say "Don't assume what doesn't exist."



面白い。
interesting.


別解? Another solution?

この話を友人にした時に、彼が面白いことを言っていました。
When I talked this story to one of my friends, he said something interesting.


「この問題文の『フェルマーの最終定理を知らないものとして』っていうのがすごく重要だね。」
"The phrase 'assuming that you don't know Fermat's final theorem' is very important."


フェルマーの最終定理と、問題の仮定を合わせると、矛盾するから、そこからどんな命題も証明完了するよね。」
" We can make contradiction from Fermat's final theorem and the assumption of this problem. After that, we can prove everything."


なるほど!!
I see!!!


僕はそこに気付いてなかったので、それを聞いた時とても感心しました。
I didn't noticed that and I was impressed very much.


なるほどね。
I see.



フェルマーの最終定理を証明に使っちゃうと、この問題は一瞬で解けるんですね。
If we use the Fermat's final theorem, we can solve this problem in a blink of an eye.


ただ、フェルマーの最終定理の証明の一部にこの問題が含まれている場合、トートロジーになるので証明できないけど。
However, if this problem is used as a part of the proof of Fermat's final theorem, it's tautology and it can't be proven.



皆さん解けますか? Can you solve this?


ちなみにこの問題、普通に問題としても面白いです。
This problem is interesting as a math problem.


ごくごく素直にやろうとすると、ひっかかります。
If you try to solve naturally, you may be caught.


僕はひっかかりました。「あれ?できない。」ってなりました。
I was caught. I said "why I can't solve this?"


でも解決できる範囲のひっかかりなので、難易度もちょうどよいと思います。
I think the difficulty is jus right.


よかったら挑戦してみてください。
Why don't you challenge this?