読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

岡竜之介のブログ

岡竜之介のブログです。

モンティ・ホール問題改

僕が勝手に「モンティ・ホール問題改」と呼んでいる問題を紹介します。

そもそも「モンティ・ホール問題って何?」と言う方は、先のこの記事を読んでしまうと

ネタバレになって、「モンティ・ホール問題」の面白さが削がれてしまうので、

先に「モンティ・ホール問題」をググってきてください。

で、納得感を得た上でこの記事を読んで下さい。

というのも、モンティ・ホール問題の時点でそこそこややこしいんですよ

なので、「モンティ・ホール問題はわかったぞ!」と感じられてから読み進めてくださいね。

では、問題です。

3つのコップABCからビー玉入りの1つを選ぶゲームをします。 あなたはAのコップを選びました。 その時、風が吹いてBのコップが少し浮き、Bが空だとわかりました。 出題者はそのことに気付いていません。 ここで出題者は「本当にAでいいの?変えてもいいよ。」と言ってきました。 あなたはCに選択を変えるべきでしょうか?

Bに変えようと思ったあなたは問題文をちゃんと読んでないか、ひねくれてます。

問題は、Cに変えることで、正解する確率を上げられるのかどうか。

ちょっと考えてみてください〜。

ちなみに以前、無理やり140字に詰め込んでtwitterでアンケートとってみた結果はこんな感じです。

では正解を。

正解は、

結論から言うと、

これ、

Cに変えても正解になる確率は上がりません。

説明してみます。

この手の確率の話の説明って、表を使ってみたり、図を使ってみたり、条件付き確率の式を使ってみたり、いろいろあると思うのですが、

こんな感じでどうでしょう。

はい。ビー玉が入ってる確率はABCですべて等しく、また、風が吹く確率もABCず全て等しいと考えられるので、

それぞれのパターンの確率は1/9ずつです。

で、今実際に起こった状況は、こう。

結局、Aを選んでもCを選んでも、ビー玉が入ってる確率は同じわけです。

出題者が正解を知っていて、意図的に不正解の扉を開く(コップを開ける)ことが重要なんですね。

不正解の選択肢がたまたま明らかになった、では、モンティ・ホール問題は成立しないんです。

ただ、Cに変えても変えなくても確率は変わらないので、「Cに変えるべきか」の答えは「どっちでもいい。」ということになる。

ちなみに、この考え方で普通のモンティ・ホール問題を考えてみるとこうなります。

挑戦者はAを選んだものとします。

出題者は正解を開けることも、挑戦者が選んだ選択肢を開けることもないので、さっきと確率の分布が違いますね。

そして、仮に出題者がBを開いたとすると

となります。Cに変えたほうがいいわけですね。

…わかったかしら? 何か不明点があったら教えてくださいませ。

では最後に、もう一つ。

こんな場合はどうでしょう?

3つのコップABCからビー玉入りの1つを選ぶゲームをします。 あなたはAのコップを選びました。 その時、風が吹いてBのコップが少し浮き、Bが空だとわかりました。 出題者はそのことに気付いていません。 ここで出題者は「ではヒントをあげよう。」と言って、Bが空であることを見せてきました。 そして、「本当にAでいいの?Cに変えてもいいよ。」と言ってきました。 あなたはCに選択を変えるべきでしょうか?

あなたからしたら「それはわかってたんだよな〜〜〜〜〜」と言いたい所だけれども、果たしてそれは不要な情報だったのでしょうか…?