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岡竜之介のブログ

岡竜之介のブログです。

違和感ある論理式:(A∧B)→Cと(A→C)∨(B→C)が同値??

今日は論理学の話です。

僕が6年ほど前にクソ違和感を感じた件がありまして。

違和感の内容

いいですか。驚かないでくださいよ。

{\displaystyle
(A \land B) \to C \tag{1}
} {\displaystyle
(A \to C) \lor (B \to C) \tag{2}
}

この2つの式が同値だって言うんですよ!!

……

………だから?

いやだからね、ちょっと考えてみましょう。

{\displaystyle
(A \land B) \to C \tag{1}
} これは、AとBが同時に成立する時は、Cも成立する、と言ってます。

Aが成立してなくてもCが成立するかもしれないし、Bが成立してなくてもCが成立するかもしれないし、 AもBも成立してなくても、Cが成立するかもしれない。

でも、少なくとも、AとBが両方成立する時には、必ずCも成立する。そう言ってます。

それに対してこちら。

{\displaystyle
(A \to C) \lor (B \to C) \tag{2}
}

これは「Aが成立ときはCも成立する」もしくは「Bが成立するときはCも成立する」のどちらか一方は絶対正しいよ、と言ってます。

両方正しいかもしれません。でも両方正しくないということはあり得ない。そう言ってる。

さてではこの2つの式の関係を考えてみます。

まず先に、{(2) \to (1)}について考えてみます。

これは、「そりゃあそうだろ」って感じがします。

AからCが言えるか、BからCが言えるかのどちらか(もしくは両方)なんだから、AとBが両方あるときはCが言えるでしょうよ。

では、その逆の{(1) \to (2)}はどうでしょう?

式を見ながら考えてみます。

{\displaystyle
(A \land B) \to C \tag{1}
} {\displaystyle
(A \to C) \lor (B \to C) \tag{2}
}

これ、正しいかなあ?

「AとBが両方ある時のみ、Cが成立する」という場合が、反例になってない?

「AとBが両方ある時のみ、Cが成立する」という場合を考えると、 {\displaystyle
(A \land B) \to C \tag{1}
} これは明らかに満たします。左辺は実際にAとBが両方あると言ってるんだから、Cが成立する。問題ない。

でも {\displaystyle
(A \to C) \lor (B \to C) \tag{2}
} は満たさないですよね?? A単体だけでもB単体だけでもCは成立しないので、この「または」の左側も右側も不成立。なので全体としても不成立なわけです。

ところが!!!

この{(1) \to (2)}はなんと証明できてしまうんですね。

この証明は勉強したことがなければわからないと思うので、その場合は「証明できるんだ」ってことだけ理解してもらえれば大丈夫です。

(勝手に引用してます。問題あったら教えて下さい…)

つまり。同値に見えない2つの式が同値になるという所が、「違和感」なわけです。

僕の考えたこと

この、違和感のある、(1)→(2)の証明には「矛盾からは何でも言っていい」という規則が使われている。

これが違和感の元凶なのではないか!

だって「矛盾からは何でも言っていい」って違和感ありまくりじゃないか!

「僕が女ならば、太陽は西から登る」は「真」だとか言うし、

「そこに違和感を感じるのは論理学に親しみ足りないだけだぜ」なんて言う人もいるけど

いやいや!違和感は、あるだろ!

OK。では、この矛盾規則を認めない論理を作ってみようぜ。

その代わり、排中律は認めよう。排中律はすごく直観的に理解しやすいからな。排中律を認めないのが直観主義論理とか、意味がわからんぜ。

…よし、できた。

でも、二重否定除去規則とか、他にも理解しやすい式がいろいろ言えなくなってしまった。

ていうかそもそも最小論理の範囲で「二重否定除去規則」と「矛盾規則+排中律」は同値なのかよ。

二重否定除去規則はすごく理解しやすいから入れたいな〜 でもそうすると矛盾規則がついてきちゃうな〜

……

わかった。結局あれだ、「→」を「ならば」って解釈するからいけないんだ。

「A→B」ってのは、「¬A∨B」以外の意味はない、そう解釈しよう。

日本語の「ならば」とは意味がちがう。

結局最初の式も、「ならば」なんて解釈するからいけなくて、¬A∨Bの形になおしてみると

{\displaystyle
\lnot A \lor \lnot B \lor C \tag{3}
}

Aでないか、Bでないか、C。そう言ってるだけだ。シンプル〜〜。

結論

結局この一件から僕が得た知見は、

「→」を「ならば」と解釈すると、おかしなことになるので、「A→B」は「¬A∨B」という意味で捉えよう。

ということでした。

このことは既に言及されていて、こんなwikipedia記事も見つかりました。

適切さの論理 - Wikipedia

では、この日本語の「ならば」の意味合いは、どうやって出すんでしょうね。そもそも取り扱わないのかしら?